Question

Дан квадрат
ABCD со стороной V2. Точка 0 — точка пересечения диагоналей. ОЕ
отрезок, перпендикулярный плоскости квадрата ABCD и OE = 6.
Найдите косинус угла между плоскостями BCE и DEC.
В ответе укажите значение косинуса острого двугранного угла, умноженное на 73.

Answer 1

Ответ:

Значение косинуса острого двугранного угла, умноженное на 73, равно 1.

Объяснение:

Требуется найти косинус угла между плоскостями BCE и DEC.

В ответе укажите значение косинуса острого двугранного угла, умноженное на 73.

Дано: ABCD - квадрат;

DC = √2;

AC ∩ BD = O; OE ⊥ ABCD; OE = 6;

Найти: косинус угла между плоскостями BCE и DEC.

Решение:

• Угол между двумя пересекающимися плоскостями - это двугранный угол.
• Двугранный угол измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

⇒ Искомый угол BHD.

Соединим Е с вершинами квадрата и получим правильную пирамиду.

В основании лежит квадрат, а грани - равные равнобедренные треугольники.

1. Рассмотрим ΔDBC - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем BD:

BD² = BC² + CD² = 2 + 2 = 4

BD = √4 = 2

Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

⇒ OD = 2 : 2 = 1

2. Рассмотрим ΔOED - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем DE:

DE² = DO² + OE² = 1 + 36 = 37

DE = √37

3. Рассмотрим ΔDEC - равнобедренный.

DH - высота.

Пусть СН = х, тогда НЕ = √37 - х

По теореме Пифагора:

из ΔDHC

DH² = DC² - HC² = 2 - x²     (1)

из ΔDEH

DH² = DE² - EH² = 37 - (√37 - x)² = 37 - 37 + 2√37x - x² = 2√37x - x²   (2)

Приравняем (1) и (2) и найдем х:

2 - x² = 2√37x - x²

2 = 2√37x

$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{37} }$

тогда

$\displaystyle DH^2 = 2-\frac{1}{37}=\frac{74-1}{37} =\frac{73}{37}\\ \\DH=\sqrt{\frac{73}{37} }$

4. Рассмотрим ΔDHC и ΔBHC - прямоугольные.

BC = CD; HC - общая.

⇒ ΔDHC и ΔBHC ( по гипотенузе и катету)

BH = HD.

5. Рассмотрим ΔВНD - равнобедренный.

• Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.

⇒ BD² = BH² + HD² - 2 · BD · HD · cosα

$\displaystyle 4=\frac{73}{37}+\frac{73}{37}-2\cdot\sqrt{\frac{73}{37} }\cdot\sqrt{\frac{73}{37} } \cdot{cos\;\alpha } \\\\4-\frac{146}{37}=-\frac{146}{37}\cdot{cos\;\alpha } \\\\cos\;\alpha =-\frac{2}{37}:\frac{146}{37} \\\\cos\;\alpha =-\frac{2}{37}\cdot\frac{37}{146}=-\frac{1}{73}$

В ответе надо указать значение косинуса острого двугранного угла, умноженное на 73.

По формуле приведения:

cos (180° - α) = - cos α

⇒ cos (180 - α) = 1/73

$\displaystyle \frac{1}{73}\cdot 73=1$

Ответ: 1.