• Предмет: Алгебра
  • Автор: Reideen
  • Вопрос задан 5 лет назад

Задание приложено...

Приложения:

Ответы

Ответ дал: mathkot
1

Ответ:

1) \boldsymbol { \boxed{  \lim_{n \to \infty} a_n = 1,5 } }

2) \boldsymbol { \boxed{  \lim_{n \to \infty} x_n = 1,6  } }

Примечание:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = \dfrac{b_{1}}{1 - q}

Объяснение:

1)

\displaystyle a_{n} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{3^{n}}

Рассмотрим последовательность

b_{n} = \dfrac{1}{3^{n}}

b_{n + 1} = \dfrac{1}{3^{n + 1}}

b_{n + 2} = \dfrac{1}{3^{n + 2}}

Так как  b^{2}_{n + 1} = b_{n} \cdot b_{n + 1} - верно, то последовательность b_{n} является геометрической прогрессией.

b_{1} = \dfrac{1}{3}

q = \dfrac{b_{2}}{b_{1}} =\dfrac{\dfrac{1}{3^{2}} }{\dfrac{1}{3}} = \dfrac{3}{3^{2}} = \dfrac{1}{3}

Так как q < 1, то данная последовательность \displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{3^{n}} является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, тогда S = \dfrac{b_{1}}{1 - q} =   \dfrac{\dfrac{1}{3} }{1 - \dfrac{1}{3} } =  \dfrac{\dfrac{1}{3} }{\dfrac{2}{3} } = \dfrac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} = 0,5.

\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =\lim_{n \to \infty}  \bigg(  1 + \underbrace{ \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{3^{n}}}_{S} \bigg) =  \lim_{n \to \infty} (1 + 0,5) =  \lim_{n \to \infty} 1,5 =1,5

2)

\displaystyle x_{n} = \frac{\displaystyle  1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}}}{\displaystyle  1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{n}}}

По аналогии с 1) примером последовательности \displaystyle  \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}} и

\displaystyle   \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{n}} являются суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, тогда:

S_{2} = \dfrac{\dfrac{1}{2} }{1 - \dfrac{1}{2} } =  \dfrac{\dfrac{1}{2} }{\dfrac{1}{2} } =1

S_{5} = \dfrac{\dfrac{1}{5} }{1 - \dfrac{1}{5} } =  \dfrac{\dfrac{1}{5} }{\dfrac{4}{5} } = 0,25

\displaystyle  \lim_{n \to \infty}  x_{n} =  \lim_{n \to \infty}   \frac{\displaystyle  1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}}}{\displaystyle  1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{n}}} =    \frac{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg(  1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}} \bigg)}{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg(   1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{n}} \bigg)} =

= \frac{\displaystyle \lim_{n \to \infty} 1 +  \lim_{n \to \infty} \underbrace{ \bigg( \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}} \bigg)}_{S_{2}} }{\displaystyle \lim_{n \to \infty}    1 +\lim_{n \to \infty} \underbrace{ \bigg( + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{n}} \bigg)}_{S_{5}}} = \dfrac{ 1 +  \lim_{n \to \infty} S_{2}  }{1 +  \lim_{n \to \infty} S_{5} } = \dfrac{1 + 1}{1 + 0,25} =

= \dfrac{2}{1,25} =1,6.

Приложения:
Вас заинтересует