Доказать, что ГМТ, равноудаленных от данной прямой, это две параллельные ей прямые, лежащие по разные от нее стороны на заданном расстоянии.
Ответы
Ответ:
Доказательство в тексте объяснения.
Объяснение:
Будем использовать свойства прямоугольников.
Возьмем прямую L. На ней возьмем точку М.
Через нее проведем перпендикуляр к прямой L.
На этом перпендикуляре отложим две точки А и В по разные стороны от L на расстоянии h от прямой L.
И теперь через точки проведем прямые L₁ и L₂ параллельные прямой L.
Теперь мы получили предположительно два ГМТ для точек равноудаленных от прямой L. В нашем случае - не расстоянии h.
Докажем это.
На прямой L₁ возьмем любую точку Х. Из этой точки опустим перпендикуляр ХХ' на прямую L. Рассмотрим фигуру XX'AM.
XA ║ X'M (прямые L и L₁, параллельны);
ХХ' ║ AB (перпендикуляры между параллельными прямыми).
Таким образом, мы получили прямоугольник XX'AM, а, значит, противоположные стороны равны.
Т.е. ХХ' = AB = h.
Аналогично доказывается для любой точки Y, взятой на прямой L₂.
Теперь возьмем любую точку Z, расстояние от которой до прямой L равно h.
Т.е. отрезок ZZ', лежащий на перпендикуляре из точки Z к прямой L, равен h ZZ'=h
Опять же рассмотрим фигуру ZZ'AM.
ZZ' = h=AB; ZZ' ║ AM; ZZ' ⊥ Z'M - фигура это прямоугольник.
Значит МZ' ║ AZ.
А поскольку через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной, то прямая AZ совпадает с прямой L₁. Следовательно, точка Z лежит на прямой L₁.
Аналогично доказывается для точки G, лежащей со стороны прямой L₂ и удаленной на расстояние h от прямой L.
Вывод:
Поскольку точки Х и Y; Z и G мы выбирали произвольно, то мы доказали, что прямая L₁ и прямая L₂ есть ГМТ для всех точек, равноудаленных от прямой L.
#SPJ1
