Question

В круг радиуса R вписан правильный треугольник. В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри треугольника​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{3\sqrt{3}}{4\pi}\approx 0.413$

Объяснение:

Искомая вероятность будет выражаться как отношение площади треугольника к площади круга, т.е.

$P(A)=\dfrac{S_\triangle}{S_\circ}$

Пусть сторона треугольника $a$. Тогда площадь треугольника $S_\triangle$ равна

$S_\triangle=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$

Теперь выразим радиус $R$ через сторону треугольника $a$ по теореме синусов (угол треугольника $\angle A=60^\circ$)

$\dfrac{a}{\sin\angle A}=2R\\\\R=\dfrac{a}{2\cdot\sin60^\circ}=\dfrac{a}{2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$

Затем выразим площадь круга по формуле $S_\circ=\pi R^2$

$S_\circ=\pi R^2=\pi\cdot\Big(\dfrac{\sqrt{3}}3a\Big)^2=\dfrac13\pi a^2$

Затем найдем отношение площадей - искомую вероятность

$P(A)=\dfrac{S_\triangle}{S_\circ}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2}{\dfrac13\pi a^2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4\pi}\approx 0.413$