Question

Найдите первообразную для функции

$f(x )= \ln ^{-1} x - \ln ^{-2} x$

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{x}{\ln x}+C$

Объяснение:

Найти первообразную - найти неопределенный интеграл

$f(x)=\ln^{-1}x-\ln^{-2}x$

Запишем интеграл

$\displaystyle \int\big(\ln^{-1}x-\ln^{-2}x\big)\,dx=\int\Big(\dfrac{1}{\ln x}-\dfrac1{\ln^2x}\Big)\,dx$

Распишем интеграл резности как разность интегралов

$=~\displaystyle\int\dfrac{1}{\ln x}\,dx-\int\dfrac1{\ln^2x}\,dx$

Применим к первому интегралу метод интегрирвоания по частям

$\int u\,dv=uv-\int v\,du$, где

$\displaystyle u=\dfrac1{\ln x},~v=x~\Rightarrow~\int\dfrac1{\ln x}\,dx=\dfrac{x}{\ln x}-\int\dfrac{-1}{\ln^2 x}\,dx=\dfrac{x}{\ln x}+\int\dfrac1{\ln^2 x}$

Подставим значение первого интеграла и о чудо, страшные интегралы сокращаются!

$=~\displaystyle\dfrac{x}{\ln x}+\int\dfrac{1}{\ln^2 x}\,dx-\int\dfrac1{\ln^2x}\,dx=\boxed{\dfrac{x}{\ln x}+C}$