Question

Очень срочно! Решить уравнение Коши

Answer 1

Ответ:

Решением задачи Коши является функция y=x²/2

Пошаговое объяснение:

$y''(1+\ln x)+\frac{y'}{x} =2+\ln x\\(y')'(1+\ln x)+y'*(1+\ln x)'=2+\ln x\\\big (y'*(1+\ln x)\big )'=2+\ln x$

Отметим, что $\int {\ln x} \, dx = x\ln x-x+C$ - вычисляется заменой t=ln x.

Тогда $\int {(2+\ln x)} \, dx = x\ln x+x+C$

Значит

$\big (y'*(1+\ln x)\big )'=(x\ln x+x)'\\y'*(1+\ln x)=x\ln x+x+C_1$

по условию y'(1)=1 - подставим в уравнение и найдем C₁:

1*(1+0)=1*ln 1 +1+C₁

1=1+C₁

C₁=0

$y'*(1+\ln x)=x\ln x+x+C_1\\y'*(1+\ln x)=x\ln x+x\\y'*(1+\ln x)=x(1+\ln x)\\y'=x\\y=\frac{x^2}{2}+C$

По условию y(1)=1/2 - подставляем и находим C:

1/2=1/2+C

C=0

Значит y=x²/2

PS: Выше, в уравнении для y', мы сокращали на выражение 1+ln x

оно обращается в ноль при x=e⁻¹ (тогда сокращать на 1+ln x нельзя). Легко проверить, что для найденной функции y=x²/2 нет никаких проблем в этой точке и она удовлетворяет уравнению для любых x>0. (это область определения логарифма)

#SPJ1