2. Решите систему неравенств: х2 + 4х +30 16 - 3(4 - x) > x
Ответы
Ответ:
В решении.
Пошаговое объяснение:
Решить систему неравенств:
2.
х² + 4х + 3 < 0
16 - 3(4 - х) > х
Первое неравенство:
Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:
х² + 4х + 3 = 0
D=b²-4ac = 16 - 12 = 4 √D=2
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(-4-2)/2
х₁= -6/2
х₁= -3;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(-4+2)/2
х₂= -2/2
х₂= -1;
Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, пересекают ось Ох в точках х= -3 и х= -1.
у < 0 (график ниже оси Ох) при х от х= -3 до х= -1.
Решения неравенства: х∈(-3; -1).
Неравенство строгое, скобки круглые.
Второе неравенство:
Приравнять к нулю и решить линейное уравнение:
16 - 3(4 - х) = х
16 - 12 + 3х = х
3х - х = -4
2х = -4
х = -2;
Уравнение линейной функции, график - прямая линия, пересекает ось Ох в точке х = -2.
у > 0 (прямая выше оси Ох) при х от х= -2 до +∞.
Решения неравенства: х∈(-2; +∞).
Неравенство строгое, скобки круглые.
-∞__________-3////////////////-2///////////-1____________________+∞
-∞_____________________\\\\\\\\\\\\\\_____________________+∞
Решения системы неравенств: х∈(-2; -1), пересечение (двойная штриховка).
3.
х² - х + 6 > 0
(х - 5)(х + 5) <= 0
Первое неравенство:
Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:
х² - х + 6 = 0
D=b²-4ac = 1 - 24 = -23
D < 0;
Уравнение не имеет решения.
Значит, неравенство не выполняется никогда или выполняется всегда.
Подставить в неравенство произвольное значение х, например, х=0, тогда:
0 - 0 + 6 > 0, неравенство выполняется всегда, х может быть любым.
Решения неравенства: х∈(-∞; +∞).
Второе неравенство:
Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:
(х - 5)(х + 5) = 0
х - 5 = 0
х₁ = 5;
х + 5 = 0
х₂ = -5;
Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, пересекают ось Ох при х= -5 и х = 5.
у <= 0 (график ниже оси Ох) при х от х= -5 до х= 5.
Решения неравенства: х∈[-5; 5].
Неравенство нестрогое, скобки квадратные.
-∞////////////////////////////////-5/////////////////////////////5/////////////////////////////////+∞
-∞__________________\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\__________________+∞
Решения системы неравенств: х∈[-5; 5], пересечение (двойная штриховка).
4.
Решить неравенство (метод интервалов):
а) (х + 3)(х - 2)(х - 1) >= 0
Приравнять к нулю и вычислить корни:
(х + 3)(х - 2)(х - 1) = 0
х + 3 = 0
х₁ = -3;
х - 2 = 0
х₂ = 2;
х - 1 = 0
х₃ = 1;
1) Отметить корни на числовой прямой:
-∞______________-3__________1__________2_____________+∞
- + - +
2) Определить знак правого крайнего интервала, для этого придать х значение больше 2, например, 10 и подставить в неравенство:
(10 + 3)(10 - 2)(10 - 1) = > 0, значит, плюс.
3) Проставить знаки интервалов справа налево, чередуя.
Так как неравенство >= 0, решениями будут интервалы со знаком +:
Решения неравенства: х∈[-3; 1]∪[2; +∞).
Неравенство нестрогое, скобки квадратные, а знаки бесконечности всегда под круглой скобкой.
б) (х - 0,2)(х + 2,5) <= 0
Приравнять к нулю и вычислить корни:
(х - 0,2)(х + 2,5) = 0
х - 0,2 = 0
х₁ = 0,2;
х + 2,5 = 0
х₂ = -2,5;
1) Отметить корни на числовой прямой:
-∞______________-2,5____________________0,2_____________+∞
+ - +
2) Определить знак правого крайнего интервала, для этого придать х значение больше 0,2, например, 1 и подставить в неравенство:
(1 - 0,2)(1 + 2,5) = > 0, значит, плюс.
3) Проставить знаки интервалов справа налево, чередуя.
Так как неравенство <= 0, решениями будут интервалы со знаком -:
Решения неравенства: х∈[-2,5; 0,2].
Неравенство нестрогое, скобки квадратные.