Question

Как найти сумму следующей геометрической прогрессии?
1 - 2x² + 4x⁴ + ⋯ + 2²⁰⁰ x⁴⁰⁰

Прошу ответ с объяснением.

Answer 1

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

Рассмотрим сумму:

$1 - 2x^2+4x^4-\ldots+2^{200}x^{400}$

В данной геометрической прогрессии первый член:

$b_1=1$

Найдем знаменатель:

$q=\dfrac{-2x^2}{1} =-2x^2$

Определим число членов. Можно заметить, что номер члена соответствует показателю степени двойки, увеличенному на 1. Так как последний член прогрессии равен $2^{200}x^{400}$, то он имеет номер 201:

$n=201$

Подставим все данные в формулу:

$S_n=\dfrac{1\cdot((-2x^2)^{201}-1)}{-2x^2-1}=\dfrac{(-2x^2)^{201}-1}{-2x^2-1}=\dfrac{-(2x^2)^{201}-1}{-2x^2-1}=$

$=\dfrac{(2x^2)^{201}+1}{2x^2+1}=\dfrac{2^{201}(x^2)^{201}+1}{2x^2+1}=\dfrac{2^{201}x^{402}+1}{2x^2+1}$

Ответ: $\dfrac{2^{201}x^{402}+1}{2x^2+1}$