Question

Помогите пожалуйста срочно !!!Вычислить объём тела,образованного вращением фигуры, ограниченным кривыми y=x³,y=x², вокруг оси OY

Answer 1

Ответ:

Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченным кривыми y=x³, y=x², вокруг оси OY, равен π/10 ед.³

Пошаговое объяснение:

Вычислить объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченным кривыми y=x³, y=x², вокруг оси OY.

Объем тела вращения вычислим по формуле:

$\displaystyle \boxed {V=\pi \int\limits^b_a {(x_2^2(y)-x_1^2(y))} \, dx }$

у = х² - квадратичная функция, график парабола.

у = х³ - кубическая функция, график - кубическая парабола.

Найдем точки пересечения графиков:

х² = х³

х³ - х² = 0

х²(х - 1) = 0

х = 0; х = 1.

у(0) = 0; у(1) = 1

⇒ Графики пересекаются в точках с координатами (0; 0); (1; 1)

Найдем объем тела вращения:

$\displaystyle V_{Oy}=\pi \int\limits^1_0 {((y^{\frac{1}{3}})^2- (y^{\frac{1}{2} })^2)}} \, dx =\\\\=\pi \int\limits^1_0 {(y^{\frac{2}{3}}-y) }} \, dx =\\\\=\pi \left(\frac{3\cdot{y^{\frac{5}{3} }}}{5}-\frac{y^2}{2}\right)\bigg|^1_0=\\ \\ =\pi \left(\frac{6}{10}-\frac{5}{10}\right)=\frac{\pi }{10}$

Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченным кривыми y=x³, y=x², вокруг оси OY, равен π/10 ед.³

#SPJ1