Question

помогите решить 4*cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x)=1-cos(8*x) желательно полный ответ

Answer 1

Основные формулы:

$\cos2\alpha =2\cos^2\alpha -1$

$\cos\alpha\cos\beta =\dfrac{1}{2}\left(\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ))$

Рассмотрим уравнение:

$4\cos x\cos2x\cos3x=1-\cos8x$

В правой части используем формулу косинуса двойного угла:

$4\cos2x\cdot\cos x\cos3x=1-(2\cos^24x-1)$

В левой части используем формулу произведения косинусов:

$4\cos2x\cdot \dfrac{1}{2}\left(\cos(x+3x)+\cos(x-3x)\right) =1-2\cos^24x+1$

$2\cos2x\cdot \left(\cos4x+\cos(-2x)\right) =2-2\cos^24x$

$\cos2x(\cos4x+\cos2x) =1-\cos^24x$

Применяем формулу косинуса двойного угла:

$\cos2x(2\cos^22x-1+\cos2x) =1-(2\cos^22x-1)^2$

$2\cos^32x-\cos2x+\cos^22x =1-(4\cos^42x-4\cos^22x+1)$

$2\cos^32x-\cos2x+\cos^22x =1-4\cos^42x+4\cos^22x-1$

$2\cos^32x-\cos2x+\cos^22x =-4\cos^42x+4\cos^22x$

$4\cos^42x+2\cos^32x-3\cos^22x-\cos2x =0$

Выносим за скобки общий множитель:

$\cos2x (4\cos^32x+2\cos^22x-3\cos2x-1) =0$

Находим первое решение:

$\cos2x=0\Rightarrow 2x=\dfrac{\pi }{2} +\pi n\Rightarrow \boxed{x=\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}}$

$4\cos^32x+2\cos^22x-3\cos2x-1 =0$

Выполняем группировку:

$4\cos^32x+4\cos^22x-2\cos^22x-2\cos2x-\cos2x-1 =0$

$4\cos^22x(\cos2x+1)-2\cos2x(\cos2x+1)-(\cos2x+1 )=0$

$(\cos2x+1)(4\cos^22x-2\cos2x-1)=0$

Находим второе решение:

$\cos2x+1=0\Rightarrow\cos2x=-1\Rightarrow 2x=\pi +2\pi n\Rightarrow \boxed{x=\dfrac{\pi }{2} +\pi n ,\ n\in\mathbb{Z}}$

Рассматриваем квадратное уравнение относительно косинуса:

$4\cos^22x-2\cos2x-1=0$

$D_1=(-1)^2-4\cdot(-1)=5$

$\cos2x=\dfrac{1\pm\sqrt{5} }{4}$

$2x=\pm\arccos\dfrac{1\pm\sqrt{5} }{4} +2\pi n$

$\boxed{x=\pm\dfrac{1}{2} \arccos\dfrac{1\pm\sqrt{5} }{4} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

Ответ: $\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi n}{2};\ \dfrac{\pi }{2} +\pi n;\ \pm\dfrac{1}{2} \arccos\dfrac{1\pm\sqrt{5} }{4} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$