Question

Заполните пропуски в тексте, чтобы получилось правильное решение.

Задача. Внутри правильного треугольника отметили точку с расстояниями до вершин, равными 3, 4 и 5. Найдите площадь треугольника.
Решение. Предположим, что внутри правильного треугольника ABC отмечена такая точка P, что PA=3, PB=4, PC=5. Пусть при повороте относительно точки A на 60∘ точка B переходит в точку C, точка C переходит в точку C1, а точка P — в точку P1.
Тогда треугольник PAP1 является
(равносторонним/прямоугольным)
и его площадь равна (...)*корень из 3

. Отрезок CP1 получается поворотом из отрезка (AP/BP/CP)
, поэтому у треугольника PCP1 стороны равны 3, 4 и 5. Следовательно, по теореме Пифагора треугольник PCP1 является прямоугольным и его площадь равна (...)
. С другой стороны,
(...)*корень из 3+(...)
=SPAP1+SPCP1=SAPC+SAP1C=SAPC+ (SAPB/SAPC/SBPC)
.
Аналогичными рассуждениями, рассматривая повороты на 60∘ с центрами в точках B и C, получаем равенства
(...) *корень из 3+(...)
=SBPA+SCPB
и
(...) *корень из 3 +(...)
=SCPB+SAPC. Складывая все три полученных равенства и деля пополам, заключаем, что
SABC=(...) *корень из 3+(...)


помогите вставить пропущенное в скобках​

Answer 1

При повороте относительно точки A на 60° точка B переходит в точку C, точка C переходит в точку C1, а точка P - в точку P1.

Треугольник PAP1 является равносторонним и его площадь равна 9√3/4.

Отрезок CP1 получается поворотом из отрезка BP, поэтому у треугольника PCP1 стороны равны 3, 4, 5. По обратной теореме Пифагора треугольник PCP1 является прямоугольным и его площадь равна 6.

9√3/4 +6 =S(PAP1)+S(PCP1) =S(APC)+S(AP1C) =S(APC)+S(APB)

Аналогичными рассуждениями, рассматривая повороты на 60° с центрами в точках B и C, получаем равенства

16√3/4 +6 =S(APB)+S(CPB)

25√3/4 +6 =S(CPB)+S(APC)

Складывая три полученных равенства и деля пополам, заключаем

S(ABC) =(50√3/4 +18)/2 =25√3/4 +9