Question

Дано: tg α = 5 ; ctg β =2/3; 0 < α <π/2; 0 < β <π/2.
Довести, что α+ β =3π/4.

Answer 1

Ответ:

Доказано .

Пошаговое объяснение:

Дано:

$tg\alpha =5;\\\\ctg\beta =\dfrac{2}{3};\\\\ 0 < \alpha < \dfrac{\pi }{2}; \\\\0 < \beta < \dfrac{\pi }{2}.$

Доказать , что $\alpha +\beta =\dfrac{3\pi }{4}$

Доказательство:

Воспользуемся формулой   $tg\alpha \cdot ctg \alpha =1$

Тогда

$tg\beta =\dfrac{1}{ctg\beta } ;\\\\tg\beta =\dfrac{3}{2 }$

Воспользуемся формулой

$tg(\alpha +\beta )=\dfrac{tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha \cdot tg\beta }$

$tg(\alpha +\beta )=\dfrac{5+\dfrac{3}{2} }{1-5\cdot \dfrac{3}{2} } =\dfrac{10+3}{2-15} =\dfrac{13}{-13} =-1$

$tg\dfrac{3\pi }{4} =-1$

2 cпособ

Если $\alpha +\beta =\dfrac{3\pi }{4}$ , то   $\beta =\dfrac{3\pi }{4} -\alpha$

$tg\beta =\dfrac{1}{ctg\beta } ;\\\\tg\beta =\dfrac{3}{2 }$

Найдем тангенс β, если $tg\alpha =5$

$tg\beta =tg\left( \dfrac{3\pi }{4} -\alpha \right)=\dfrac{tg\dfrac{3\pi }{4}-tg\alpha }{1+tg\dfrac{3\pi }{4}\cdot tg\alpha } =\dfrac{-1-5}{1+(-1)\cdot5 } =\dfrac{-6}{1-5} =\dfrac{-6}{-4} =\dfrac{3}{2}$

Доказано.

#SPJ1