Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {e^{-2x} \sin 2x} \, dx = 0,25} }$

Объяснение:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {e^{-2x} \sin 2x} \, dx$ - несобственный интеграл 1 рода

Если существует предел существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл $\displaystyle \int {e^{-2x} \sin 2x} \, dx$.

$\displaystyle \int {e^{-2x} \sin 2x} \, dx =$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям:

$u = e^{-2x} \Longrightarrow du = (e^{-2x})' \ dx = -2e^{-2x} \ dx$

$\displaystyle dv =\sin 2x \, dx \Longrightarrow v = \int {\sin 2x} \, dx = \frac{1}{2} \int {\sin 2x} \, d(2x) = -\frac{\cos 2x}{2}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle = -\frac{e^{-2x} \cos 2x}{2} - \int {-2e^{-2x} \cdot \frac{-\cos 2x}{2}} \, dx = -\frac{e^{-2x} \cos 2x}{2} - \int { e^{-2x} \cos 2x} \, dx =$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям:

$u = e^{-2x} \Longrightarrow du = -2e^{-2x} \ dx$

$\displaystyle dv =\cos 2x \, dx \Longrightarrow v = \int {\cos 2x} \, dx = \frac{1}{2} \int {\cos 2x} \, d(2x) = \frac{\sin 2x}{2}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle = -\frac{e^{-2x} \cos 2x}{2} - \Bigg(\frac{e^{-2x} \sin 2x}{2} - \int { -2e^{-2x} \cdot \frac{\sin 2x}{2} } \, dx \Bigg) =$

$\displaystyle = -\frac{e^{-2x} \cos 2x}{2} - \Bigg(\frac{e^{-2x} \sin 2x}{2} + \int { e^{-2x} \sin 2x } \, dx \Bigg) =$

$\displaystyle = -\frac{e^{-2x} \cos 2x}{2} - \frac{e^{-2x} \sin 2x}{2} - \int { e^{-2x} \sin 2x } \, dx \ ;$

$\displaystyle \int {e^{-2x} \sin 2x} \, dx = -\frac{e^{-2x} \cos 2x}{2} - \frac{e^{-2x} \sin 2x}{2} - \int { e^{-2x} \sin 2x } \, dx$

$\displaystyle 2 \int {e^{-2x} \sin 2x} \, dx = \frac{-e^{-2x} \cos 2x - e^{-2x} \sin 2x}{2}$

$\displaystyle 2 \int {e^{-2x} \sin 2x} \, dx = -\frac{1}{2e^{2x}} \bigg(\cos 2x + \sin 2x \bigg) \Bigg |:2$

$\boxed{ \displaystyle \int {e^{-2x} \sin 2x} \, dx = -\frac{1}{4e^{2x}} \bigg(\cos 2x + \sin 2x \bigg) + C}$

Для вычисления несобственного 1 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {e^{-2x} \sin 2x} \, dx = \Bigg( -\frac{1}{4e^{2x}} \bigg(\cos 2x + \sin 2x \bigg) \Bigg) \Bigg |^{+\infty}_{0} =$

$\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \Bigg( -\frac{1}{4e^{2x}} \bigg(\cos 2x + \sin 2x \bigg) \Bigg) - \Bigg( -\frac{1}{4e^{2 \cdot0}} \bigg(\cos 2 \cdot0+ \sin 2 \cdot0 \bigg) \Bigg)=$

$\displaystyle = \Bigg( \frac{1}{4e^{0}} \bigg(\cos 0+ \sin 0 \bigg) \Bigg) - \lim_{x \to \infty} \Bigg( \frac{1}{4e^{2x}} \bigg(\cos 2x + \sin 2x \bigg) \Bigg) =$

$\displaystyle = \Bigg( \frac{1}{4 \cdot 1} \bigg( 1+ 0) \Bigg) - 0 = \frac{1}{4} \cdot 1 =0,25$