Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {(3x + 2)e^{-2x}} \, dx = \frac{7}{4}} }$

Примечание:

Интегрирование по частям:

$\boxed{ \boldsymbol{ \int {u} \, dv = uv - \int {v} \, du } }$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {(3x + 2)e^{-2x}} \, dx$- несобственный интеграл 1 рода

Если существует предел существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл $\displaystyle \int {(3x + 2)e^{-2x}} \, dx$.

$\displaystyle \int {(3x + 2)e^{-2x}} \, dx = \int {(3xe^{-2x} + 2e^{-2x})} \, dx = \int {3xe^{-2x} } \, dx + \int { 2e^{-2x} } \, dx=$

$\displaystyle = 3\int {xe^{-2x} } \, dx + 2\int { e^{-2x} } \, dx= 3 \bigg( -\frac{xe^{-2x}}{2} -\frac{e^{-2x}}{4} \bigg) + 2 \bigg(-\frac{e^{-2x}}{2} \bigg) + C =$

$\displaystyle = -\frac{3xe^{-2x}}{2} -\frac{3e^{-2x}}{4} - e^{-2x} + C = - e^{-2x} \bigg(\frac{3x}{2} + \frac{3}{4} + 1 \bigg)+ C =$

$\displaystyle = - e^{-2x} \bigg(\frac{6x +3 + 4}{4} \bigg)+ C = - e^{-2x} \bigg(\frac{6x +7}{4} \bigg)+ C = - \frac{1}{e^{2x}} \bigg(\frac{6x +7}{4} \bigg)+ C$

а)

$\displaystyle \int {xe^{-2x} } \, dx =$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям:

$u = x \Longrightarrow du = dx$

$\displaystyle dv = e^{-2x} \, dx \Longrightarrow v = \int {e^{-2x}} \, dx = -\frac{1}{2} \int {e^{-2x}} \, d(-2x) = -\frac{e^{-2x}}{2}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle -\frac{xe^{-2x}}{2} - \int {-\frac{e^{-2x}}{2}} \, dx = -\frac{xe^{-2x}}{2} + \frac{1}{2} \int {e^{-2x}} \, dx = -\frac{xe^{-2x}}{2} -\frac{e^{-2x}}{4} + C$

б)

$\displaystyle \int {e^{-2x}} \, dx = -\frac{1}{2} \int {e^{-2x}} \, d(-2x) = -\frac{e^{-2x}}{2} + C$

Для вычисления несобственного 1 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {(3x + 2)e^{-2x}} \, dx = - \frac{1}{e^{2x}} \bigg(\frac{6x +7}{4} \bigg) \bigg |^{+\infty}_{0} =$

$\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \bigg( - \frac{1}{e^{2x}} \bigg(\frac{6x +7}{4} \bigg) \bigg) - \bigg( - \frac{1}{e^{2 \cdot 0}} \bigg(\frac{6 \cdot 0 +7}{4} \bigg) \bigg) =$

$\displaystyle =\bigg( \frac{1}{e^{0}} \bigg(\frac{0 +7}{4} \bigg) \bigg)- \lim_{x \to \infty} \bigg(\frac{6x +7}{4e^{2x}} \bigg) =\bigg( \frac{1}{1} \bigg(\frac{7}{4} \bigg) \bigg) = \frac{7}{4}$

Предел $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigg(\frac{6x +7}{4e^{2x}} \bigg) = 0$, так как $e^{2x}$ - показательная функция, то она растет быстрее чем любая линейная функция следовательно, знаменатель будет расти быстрее числителя и на бесконечности дробь стремится к нулю.

Также существует второй способ вычисления данного интеграла.

По определению преобразование Лапласа:

$\boxed{ \displaystyle F(p) = \int\limits^{+\infty}_{0} {f(x)e^{-px}} \, dx }$

Где $f(x)$ - оригинал, а $F(p)$ - изображение.

Для интеграла $\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {(3x + 2)e^{-2x}} \, dx$функция $f(x) = 3x + 2$ является оригиналом, так как соответствует определению функции-оригинала в данном случае.

Применяя преобразование Лапласа для функции $f(x)$ (согласно таблице) получим следующие:

Свойство линейности преобразования Лапласа:

$\boxed{\alpha f(t) + \beta g(t) \xrightarrow{ \ L \ } \alpha F(p) + \beta G(p)}$

Где $f(t) \xrightarrow{ \ L \ } F(p)$ и $g(t) \xrightarrow{ \ L \ } G(p)$.

Тогда так как:

$x \xrightarrow{ \ L \ } \dfrac{1}{p^{2}}$

$1 \xrightarrow{ \ L \ } \dfrac{1}{p}$

$3\cdot x + 1 \cdot 2 \xrightarrow{ \ L \ } \dfrac{3}{p^{2}} + \dfrac{2}{p}$

То есть $F(p) = \dfrac{3}{p^{2}} + \dfrac{2}{p}$ и для интеграла $\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {(3x + 2)e^{-2x}} \, dx$$p = 2$, тогда:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {(3x + 2)e^{-2x}} \, dx = F(2) = \dfrac{3}{2^{2}} + \dfrac{2}{2} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{2} = \dfrac{3 + 2 \cdot 2}{4} = \frac{3 + 4}{4} =\frac{7}{4}$.