Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

11.

$\boxed{ \boldsymbol{ u'_{s} = \dfrac{e^{s}}{e^{s} + e^{t}} } }$

$\boxed{ \boldsymbol{u'_{t} = \dfrac{e^{t}}{e^{s} + e^{t}} }}$

12.

$\boxed{ \boldsymbol{u'_{r} = \dfrac{\phi}{1 + r^{2}\phi^{2}} }}$

$\boxed{ \boldsymbol{u'_{\phi} = \dfrac{r}{1 + r^{2}\phi^{2}} }}$

Примечание:

При взятии производной по какой-то переменной, то берем эту производную именно по данной переменной, а все остальные выражения считаем константами.

По таблице производных:

$\boxed{(\ln x)' = \dfrac{1}{x} }$

$\boxed{(\text{arctg} \ x)' = \dfrac{1}{1 + x^{2} } }$

Пошаговое объяснение:

11.

$u = \ln(e^{s} + e^{t})$

$u'_{s} = \dfrac{\partial u}{\partial s} = (\ln(e^{s} + e^{t}))'_{s} = \dfrac{(e^{s} + e^{t})'_{s}}{e^{s} + e^{t}} = \dfrac{(e^{s})'_{s} + (e^{t})'_{s}}{e^{s} + e^{t}} = \dfrac{e^{s}}{e^{s} + e^{t}}$

$u'_{t} =\dfrac{\partial u}{\partial t} = (\ln(e^{s} + e^{t}))'_{t} = \dfrac{(e^{s} + e^{t})'_{t}}{e^{s} + e^{t}} = \dfrac{(e^{s})'_{t} + (e^{t})'_{t}}{e^{s} + e^{t}} = \dfrac{e^{t}}{e^{s} + e^{t}}$

12.

$u = \text{arctg}(r \phi)$

$u'_{r} = \dfrac{\partial u}{\partial r} = (\text{arctg}(r \phi))'_{r} = \dfrac{(r \phi)'_{r}}{1 + r^{2}\phi^{2}} = \dfrac{\phi(r )'_{r}}{1 + r^{2}\phi^{2}} = \dfrac{\phi}{1 + r^{2}\phi^{2}}$

$u'_{\phi} = \dfrac{\partial u}{\partial \phi} = (\text{arctg}(r \phi))'_{\phi} = \dfrac{(r \phi)'_{\phi}}{1 + r^{2}\phi^{2}} = \dfrac{r(\phi )'_{\phi}}{1 + r^{2}\phi^{2}} = \dfrac{r}{1 + r^{2}\phi^{2}}$