Question

1) Знайти похідну функції
2) Дослідити функцію і намалювати графік
якщо можна напишіть це налисточку, буду вдячний

Answer 1

Ответ:

1)

$\displaystyle y' =\frac{4}{3} sin^3\frac{x}{3} \cdot{cos\;\frac{x}{3} }$

2)

1. ОДЗ: х ∈ R;

2. функция не является четной или нечетной;

3. с осью Оу: (0; 0); с осью Ох: (0; 0) и (3; 0);

4. асимптот нет;

5. Функция возрастает на промежутке: [0; 2];

функция убывает на промежутках: (-∞; 0]; [2; +∞);

x min = 0; x max = 2;

6. Функция вогнута на промежутке (-∞; 1];

функция выпукла на промежутке [1; +∞)

х перегиба = 1.

Пошаговое объяснение:

1. Найти производную функции:

$\displaystyle y=sin^4\;\frac{x}{3}$

Для решения нам понадобятся формулы для вычисления производной сложных функций:

$\displaystyle \boxed { (u^n)'=nu^{n-1}\cdot{u'}}\;\;\;\;\;\boxed {(sin\;u)'=cos\;u\cdot{u'}}$

Найдем производную:

$\displaystyle y'=4\cdot{sin^3\;\frac{x}{3}\cdot\left(sin\;\frac{x}{3} \right)'=$

$\displaystyle =4sin^3\;\frac{x}{3} \cdot{cos\;\frac{x}{3} \cdot\left(\frac{x}{3} \right)'=$

$\displaystyle =4sin^3\frac{x}{3} \cdot{cos\;\frac{x}{3} \cdot\frac{1}{3} }=$

$\displaystyle =\frac{4}{3} sin^3\frac{x}{3} \cdot{cos\;\frac{x}{3} }$

2) Исследовать функцию и построить график.

y = 3x² - x³

1. ОДЗ: х ∈ R.

2. Четность, нечетность.

Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

у(-х) = 3 · (-х)² - (-х)³ = 3х² + х³

у(-х) ≠ у(х) ≠ -у(х)

⇒ функция не является четной или нечетной.

3. Пересечение с осями координат.

а) с осью Оу ⇒ х = 0

у = 0 ⇒ (0; 0)

б) с осью Ох ⇒ у = 0

х² (3 - х) = 0

х = 0; х = 3 ⇒ (0; 0) и (3; 0)

4. Асимптоты.

Функция непрерывна, асимптот нет.

5. Возрастание, убывание, экстремумы.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

y' = 3 · 2x - 3x² = 6x - 3x² = 3x (2 - x)

y' = 0 ⇒ 3x (2 - x) = 0

x = 0;  x = 2

$---[0]+++[2]---$

Функция возрастает на промежутке: [0; 2];

функция убывает на промежутках: (-∞; 0]; [2; +∞)

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ x min = 0; x max = 2.

y(0) = 0; y(2) = 4

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

у'' = 6 - 3 · 2x = 6 - 6x = 6 (1 - x)

у'' = 0 ⇒ 6 (1 - x) = 0

x = 1

$+++[1]---$

Функция вогнута на промежутке (-∞; 1];

функция выпукла на промежутке [1; +∞)

х перегиба = 1

у(1) = 2

Строим график.

#SPJ1