Question

Нужно решить уравнение
4cos²x+8sinx-7=0, пожалуйста кто сможет

Answer 1

Ответ:

$\left [ \begin{array}{ccc} \large \boldsymbol {} x = \frac{\pi }{6} + 2\pi n, \ n \in Z \\\\ \large \boldsymbol {} x = \frac{5\pi }{6} + 2\pi n, \ n \in Z \end{array}\right$

ЗАДАНИЕ: решить уравнение 4cos²x + 8sinx - 7 = 0.

Решение:

4cos²x + 8sinx - 7 = 0

Известно, что:

sin²x + cos²x = 1

Выразим отсюда cos²х:

cos²x = 1 - sin²x

Подставим в уравнение:

4(1 - sin²x) + 8sinx - 7 = 0

Раскроем скобки:

4 - 4sin²x + 8sinx - 7 = 0

-4sin²x + 8sinx - 3 = 0 | *(-1)

4sin²x - 8sinx + 3 = 0

Пусть t = sinx, |t| ≤ 1, тогда:

4t² - 8t + 3 = 0

Найдем дискриминант, а затем корни уравнения:

D = b² - 4ac

D = (-8)² - 4 * 4 * 3 = 64 - 48 = 16

При D > 0 уравнение имеет два корня.

$t_{1} = \frac{8 - 4}{2 * 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \ togda \ sinx = \frac{1}{2}$

$t_{2} = \frac{8 + 4}{2 *4} = \frac{12}{8} =\frac{3}{2}, \ togda \ sinx = \frac{3}{2}$ - не подходит по условию, так как $-1 \leq sinx \leq 1$

$sinx = \frac{1}{2}$

$\left [ \begin{array}{ccc} \large \boldsymbol {} x = \frac{\pi }{6} + 2\pi n, \ n \in Z \\\\ \large \boldsymbol {} x = \frac{5\pi }{6} + 2\pi n, \ n \in Z \end{array}\right$