Question

Решите неравенство
$\boldsymbol{\sqrt{7+2^{1-x}} \geq 7-\bigg(\dfrac{1}{2} \bigg)^{x-2}}$

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\sqrt{7+2^{1-x}}\ge7-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-2}\\\sqrt{7+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-1}}\ge7-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-2}$

Замена: $t=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-1}$.

Тогда:

$\sqrt{7+t}\ge7-2t$

$\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}7-2t < 0\\7+t\ge0\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{c}7-2t\ge0\\7+t\ge\left(7-2t\right)^2\end{array}\right\end{array}\right;$

Первая система дает $t > 7/2$.

Вторая система:

Первая строка дает $t\le7/2$.

Вторая строка:

$7+t\ge49-28t+4t^2\\4t^2-29t+42\le0$

Откуда $t\in\left[2;\dfrac{21}{4}\right]$

Тогда из второй системы: $t\in\left[2;\;\dfrac{7}{2}\right]$

Тогда совокупность дает: $t\in\left[2;\;+\infty\right)$

Обратная замена:

$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-1}\ge2$

$x\le0$

Неравенство решено!

Answer 2

Ответ:

х∈( -∞; 0]

Объяснение:

Решить неравенство

$\sqrt{7+2^{1-x} } \geq 7-\left(\dfrac{1}{2}\right )^{x-2}$

$\sqrt{7+2\cdot2^{-x} } \geq 7-2^{-x+2};\\\sqrt{7+2\cdot2^{-x} } \geq 7-4\cdot 2^{-x}$

Пусть$2\cdot 2 ^{-x} =t$ , тогда неравенство принимает вид:

$\sqrt{7+t} \geq 7-2t$

$\left [\begin{array}{l} \left \{\begin{array}{l} 7-2t < 0, \\ 7+t\geq 0; \end{array} \right. \\\\ \left \{\begin{array}{l} 7-2t \geq 0, \\ 7+t\geq (7-2t)^{2}; \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow \left [\begin{array}{l} \left \{\begin{array}{l} -2t < -7, \\ t\geq -7; \end{array} \right. \\\\ \left \{\begin{array}{l} -2t \geq -7, \\ 7+t\geq 49-28t+4t^{2} ; \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow\right.$

$\Leftrightarrow\left [\begin{array}{l} \left \{\begin{array}{l} t > 3,5, \\ t\geq -7; \end{array} \right. \\\\ \left \{\begin{array}{l} t \leq 3,5, \\ 4t^{2}-29t +42\leq 0 ;\end{array} \right. \end{array} \Leftrightarrow\left [\begin{array}{l} t > 3,5, \\\\ \left \{\begin{array}{l} t \leq 3,5, \\ 2\leq t \leq \dfrac{21}{4}; \end{array} \right. \end{array} \Leftrightarrow \left [\begin{array}{l} t > 3,5, \\ 2\leq t \leq 3,5; \end{array} \right. \Leftrightarrow t \geq 2.$

Покажем решение квадратичного неравенства

$4t^{2} -29t+42\leq 0;\\4t^{2} -29t+42=0;\\D= (-29)^{2} -4\cdot 4\cdot 42=841-672=169=13^{2} ;\\\\t{_1}= \dfrac{29+13}{8} =\dfrac{42}{8} =\dfrac{21}{4} ;\\\\t{_2}= \dfrac{29-13}{8} =\dfrac{16}{8} =2$

$4(t-\dfrac{21}{4} )(t-2) \leq 0\\\\2\leq t\leq \dfrac{21}{4}$

Вернемся к замене и получим:

$2\cdot 2 ^{-x} \geq 2|:2;\\ 2 ^{-x} \geq 1;\\2 ^{-x} \geq 2^{0} ;\\-x\geq 0|\cdot(-1);\\x\leq 0$

Тогда решением неравенства является х∈( -∞; 0]

#SPJ1