Question

Своими координатами даны точки A(1;2;0), C(3;2;1), D(1;3;–1), E(2;2;0). Лежат ли эти точки на одной плоскости?

Answer 1

Ответ:  нет .

Если смешанное произведение векторов равно 0, то векторы лежат в одной плоскости. Проверим это условие .

$A(1;2;0)\ ,\ C(3;2;1)\ ,\ D(1;3;-1)\ ,\ E(2;2;0)\\\\\overline{AC}=(2;0;1)\ ,\ \ \overline{AD}=(0;1;-1)\ ,\ \ \overline{AE}=(1;0;0)$

$(\overline{AE},\overline{AC},\overline{AD})=\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&0&1\\0&1&-1\end{array}\right|=1\cdot \left|\begin{array}{ccc}0&1\\1&-1\end{array}\right|=0\cdot (-1)-1\cdot 1=-1\ne 0$  

Векторы не компланарны, то есть не лежат в одной плоскости .