Question

Решите пожалуйста !!!

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$tg2xcos3x+sin3x=\sqrt{2}sin5x$

Из тангенса имеем $cos2x\ne0$.

Тогда исходному уравнению равносильно:

$\dfrac{cos2x}{cos2x}\cdot\left(tan2xcos3x+sin3x\right)=\sqrt{2}sin5x\\\dfrac{sin2xcos3x+cos2xsin3x}{cos2x}=\sqrt{2}sin5x\\\dfrac{sin5x}{cos2x}=\sqrt{2}sin5x$

Опять-таки имеем переход:

$sin5x=\sqrt{2}sin5xcos2x\\sin5x(1-\sqrt{2}cos2x)=0$

Ну а это классика:

$\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{n\pi}{5},\;n\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{8}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{7\pi}{8}+m\pi,\;m\in\mathbb{Z}\end{array}\right;$

Все найденные корни подходят.

Ну и корней принадлежащих заданному промежутку будет 10:

$-\dfrac{\pi}{8},\;-\dfrac{\pi}{5},\;0,\;\dfrac{\pi}{8},\;\dfrac{\pi}{5},\;\dfrac{2\pi}{5},\;\dfrac{3\pi}{5},\;\dfrac{4\pi}{5},\;\dfrac{7\pi}{8},\;\pi$

Задание выполнено!