Question

Найти расстояние и найти точку пересечения прямой.

Answer 1

Ответ:

1.

$2x - 3y - 8 = 0$

M(2;3)

Прямая стоит, как раз в нам нужной канонической форме: Ax+By+C=0

Формула расстояния от точки до прямой:

$d = \frac{ | A \times x_{M}+ B \times y_{M}+C| }{ \sqrt{{A}^{2}+ {B}^{2}} }$

$\displaystyle d = \frac{ |2 \times 2 + ( - 3) \times 3 + ( - 8)| }{ \sqrt{ {2}^{2} + {3}^{2} } } = \frac{ |4 - 9 - 8| }{ \sqrt{4 + 9} } = \frac{ | - 13| }{ \sqrt{13} } = \frac{13}{ \sqrt{13} } = \frac{13 \times \sqrt{13} }{ \sqrt{13} \times \sqrt{13} } = \sqrt{13}$

4.

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 2}{0}$

уравнение прямой в пространстве в каноническом виде выглядит так:

$\frac{x - x_{1}}{a_{x} } = \frac{y - y _{1} }{a_{y}} = \frac{z - z_{1}}{a_{z} }$

$L(x_{1};y_{1};z_{1}$

Значит координаты точки L(1;2;-2). (Если что, числа ax, ay, az в знаменателях - это координаты вектора, но в данной задаче они нам не нужны)

Теперь приведем общее уравнение плоскости в нормальный вид. Общее уравнение плоскости выглядит так:

Ax+Bx+Cx+D=0

x+2y+2z+3=0 (A=1, B=2, C=2, D=3)

D является положительным числом, нормирующий знак должен иметь противоположный знак, поэтому он отрицательный.

Формула нормирующего знака:

$\pm \frac{1}{ \sqrt{{A}^{2}+ {B}^{2}+ {C}^{2}} }$

$- \frac{1}{ \sqrt{ {1}^{2} + {2}^{2} + {2}^{2} } } = - \frac{1}{ \sqrt{1 + 4 + 4} } = - \frac{1}{ \sqrt{9} } = - \frac{1}{3}$

Чтобы получить искомое нормальное уравнение плоскости, обе части уравнения необходимо умножить на нормирующий множитель.

$- \frac{1}{3} (x + 2y + 2z + 3) = - \frac{1}{3} \times 0 \\ - \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} y - \frac{2}{3} z - 1 = 0$

Чтобы найти расстояние, надо координаты точки L подставить в уравнение плоскости под модулю.

$\displaystyle| - \frac{1}{3} \times 1 - \frac{2}{3} \times 2 - \frac{2}{3} \times ( - 2) - 1 | = | - \frac{1}{3} - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} - 1 | = | - \frac{4}{3} | = \frac{4}{3}$