Question

Найти обратную матрицу и объем треугольника построенный на векторах

Answer 1

Ответ:

1.

Сначала найдем определитель (детерминат):

$\displaystyle \begin{vmatrix} a&b \\ c&d\end{vmatrix} = ad - bc$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3&1 \\ - 2&0\end{vmatrix} = 3 \times 0 - 1 \times ( - 2) = 2$

Если определитель равен 0, то у такой матрицы нет обратной. У нас определитель 2, поэтому можно найти обратную матрицу. Воспользуемся методом Гаусса.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3&1& | &1&0 \\ - 2&0& | &0&1\end{pmatrix}$

Нужно сделать так, чтобы левая часть стала, как правая (единичной матрицей). И в случае мы, если мы приведем левую часть к единичной, то правая часть станет обратной матрицей.

Разделим вторую строчку на -2.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3&1& | &1&0 \\ 1&0& | &0& - \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Умножим вторую строчку на -3 и прибавим к первой строчке.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0&1& | &1& \frac{3}{2} \\ 1&0& | &0& - \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Поменяем местами первую и вторую строчки.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1&0& | &0& - \frac{1}{2} \\ 0&1& | &1& \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

Обратной матрицей будет

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} 0& - \frac{1}{2} \\ 1& \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

Проверим. Если умножить матрицу на обратную, то должна получиться единичная матрица. Умножение матриц выглядит так:

$\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}k&l \\m&n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ak + bm&al + bn \\ ck + dm&cl + dn \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3&1 \\ - 2&0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0& - \frac{1}{2} \\1& \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \times 0 + 1 \times 1&3 \times ( - \frac{1}{2}) + 1 \times \frac{3}{2} \\ - 2 \times 0 + 0 \times 1& - 2 \times ( - \frac{1}{2}) + 0 \times \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$

Получилась единичная матрица, значит мы правильно нашли обратную матрицу.

2. Для того, чтобы найти объем треугольной призмы, построенной на векторах, воспользуемся смешанным произведением векторов. Ну, а если проще, то найдем определитель матрицы, состоящей из координатов этих векторов.

$\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = \begin{vmatrix}a_{x}& a_{y} &a_{z} \\b_{x}&b_{y}&b_{z} \\c_{x}&c_{y}&c_{z} \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix}6&5&1 \\ 5&1&4 \\ 2&5&3 \end{vmatrix}$

Решим методом Саррюса:

$\begin{vmatrix}a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{vmatrix} = aef + bfg + dhc - ceg - fha - bdi$

Главная диагональ и треугольники с параллельными главной диагонали основаниями складываются и от нее отнимают побочная диагональ с треугольниками с параллельными основаниями побочной диагонали.

$\begin{vmatrix}6&5&1 \\ 5&1&4 \\ 2&5&3 \end{vmatrix} = 6 \times 1 \times 3 + 5 \times 4 \times 2 + 5 \times 5 \times 1 - 1 \times 1 \times 2 - 4 \times 5 \times 6 - 5 \times 5 \times 3 = 18 + 40 + 25 - 2 - 120 - 75 = - 114$

Объём треугольной призмы, построенной на трех векторах равен половине модуля смешанного произведения векторов.

$V_{приз} = \frac{ | - 114| }{2} = \frac{114}{2} = 57$

Объём треугольной пирамиды, построенной на трех векторах равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов.

$V_{пир} = \frac{ | - 114| }{6} = \frac{114}{6} = 19$

Ну, а если бы спросили объем параллелепипеда, то он равен просто модулю определителя.