1. Знайдіть висоту, бічне ребро та площу поверхні правильної чотирикутної
піраміди, діагональ основи якої дорівнює 4 см, а бічне ребро утворює з
площиною основи кут 45°.
2. Визначте довжину апофеми правильної чотирикутної піраміди, якщо площа
її повної поверхні дорівнює 208 см
2
, а довжина сторони основи – 8 см.
Ответы
Ответ:
1. Высота пирамиды равна 2 см.
Боковое ребро равно 2√2 см.
Площадь полной поверхности равна 8(1 + √3) см².
2. Апофема равна 9 см.
Объяснение:
1. Найдите высоту, боковое ребро и площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, диагональ основания которой равна 4 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°.
2. Определите длину апофемы правильной четырехугольной пирамиды, если площадь ее полной поверхности равна 208 см², а длина стороны основания 8 см.
Вспомним:
- В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, все грани равны и представляют собой равнобедренные треугольники, высоты которых являются апофемами.
1.
Дано: SABCD - правильная пирамида;
АС = 4 см - диагональ основания;
∠SAO = 45°;
SO - высота.
Найти: SO; AS; Sполн.
Решение:
1. Рассмотрим ΔASO - прямоугольный;
- Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам.
⇒ АО = ОС = 4 : 2 = 2 (см)
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠ASO = 90° - 45° = 45°
- Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
⇒ АО = OS = 2 см.
Высота пирамиды равна 2 см.
По теореме Пифагора найдем ребро АS:
AS² = AO² + OS² = 4 + 4 = 8
AS = √8 = 2√2 (см)
Боковое ребро равно 2√2 см.
2. Найдем площадь поверхности пирамиды.
- Площадь поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности.
- Sполн. = Sосн. + Sбок.
Найдем площадь основания:
- S = d²/2, где d - диагональ квадрата.
⇒ Sосн. = 4²/2 = 8 (см²)
С другой стороны площадь квадрата равна:
- S = a², где а - сторона квадрата.
⇒ AD = √8 = 2√2 (см)
Найдем площадь боковой поверхности.
Рассмотрим ΔASD - равнобедренный.
SH - высота.
- В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой.
⇒ AH = HD = 2√2 : 2 = √2 (см)
Рассмотрим ΔASH - прямоугольный.
По теореме Пифагора найдем апофему SH:
SH² = AS² - AH² = 8 - 2 = 6
SH = √6 см
Теперь можем найти площадь боковой грани, то есть S(ΔASD).
- Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на данную сторону.
⇒ S(ΔASD) = (AD · SH) : 2 = (2√2 · √6) : 2 = √12 = 2√3 (см²)
Так как у нас четыре боковых грани, то площадь боковой поверхности будет равна:
Sбок. = 2√3 · 4 = 8√3 (см²)
Площадь полной поверхности равна:
Sполн. = 8 + 8√3= 8(1 + √3) (см²)
Площадь полной поверхности равна 8(1 + √3) см².
2.
Дано: КМЕРТ - правильная пирамида;
Sполн. = 208 см²;
МТ = 8 см.
Найти: КВ - апофему.
Решение:
- Площадь поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности.
- Sполн. = Sосн. + Sбок.
Площадь основания равна:
Sосн. = 8² = 64 (см²)
⇒ Sбок. = Sполн. - Sосн. = 208 - 64 = 144 (см²)
Так как у нас четыре боковых грани, то площадь одной грани равна:
S(ΔМКТ) = 144 : 4 = 36 (см²)
Из формулы площади треугольника найдем высоту КВ:
S(ΔМКТ) = (МТ · КВ) : 2
36 = (8 · КВ) : 2
8 ·КВ = 72
КВ = 9
Апофема равна 9 см.
#SPJ1
