Question

Тема: Дифференциальные модели

Answer 1

Ответ:

а) 507 лет

б) 84%

Пошаговое объяснение:

Пусть y = y(t) — процент оставшегося после распада 1 г радия спустя некоторое время t лет. Изменение этого процента пропорционально количеству оставшегося радия, то есть:

$y'=ky\\\dfrac{dy}{dt}=ky\\\dfrac{dy}{y}=kdt\\\ln{|y|}=kt+\ln{C}\\\ln{\dfrac{|y|}{C}}=kt\\y=Ce^{kt}$

При t = 0 имеем 100% радия, то есть

$1=Ce^0\Leftrightarrow C=1\\y=e^{kt}$

При t = 1 имеем $y=\dfrac{1-0{,}00044}{1}=0{,}99956$

$0{,}99956=e^k\\y=e^{kt}=(e^k)^t=(0{,}99956)^t$

а) Необходимо найти момент времени t, при котором y = 0,8:

$(0{,}99956)^t=0{,}8\\t=\dfrac{\ln{0{,}8}}{\ln{0{,}99956}}\approx 507$

б) Необходимо найти y при t = 400:

$y=(0{,}99956)^{400}\approx 0{,}84$