Question

Тема: Дифференциальные модели

Answer 1

Ответ:

13,86 с

Пошаговое объяснение:

Пусть y = y(t) — функция, выражающая процент азота в баллоне (от 0 до 1) в момент времени t. Тогда процент кислорода будет равен 1 - y. Обозначим a = 1 л/с — скорость подачи азота, V = 10 л — вместимость баллона.

Изменение количества азота в баллоне равно Δy·V. Оно равно количеству замещённого азотом кислорода за время Δt, то есть a·Δt·(1-y). Разделив на Δt, получаем:

$\dfrac{\Delta y}{\Delta t}\cdot V=a(1-y)$

При Δt → 0 и V = 10, a = 1 получаем дифференциальное уравнение с начальным условием (в самом начале в баллоне содержалось 80% азота, то есть y(0) = 0,8):

$10y'=1-y\\\dfrac{10dy}{dt}=1-y\\\dfrac{dy}{y-1}=-\dfrac{dt}{10}\\\ln{|y-1|}=-\dfrac{t}{10}+\ln{C}\\\ln{\dfrac{|y-1|}{C}}=-\dfrac{t}{10}\\\dfrac{y-1}{C}=e^{-\frac{t}{10}}\\y=Ce^{-\frac{t}{10}}+1$

Найдём C при начальном условии y(0) = 0,8:

$0{,}8=Ce^0+1\\0{,}8=C+1\\C=-0{,}2$

Получаем функцию $y=1-0{,}2e^{-\frac{t}{10}}$

Найдём момент времени t, при котором y = 0,95:

$0{,}95=1-0{,}2e^{-\frac{t}{10}}\\0{,}2e^{-\frac{t}{10}}=0{,}05\\e^{-\frac{t}{10}}=0{,}25\\-\dfrac{t}{10}=\ln{0{,}25}=-\ln{4}\\t=10\ln{4}\approx 13{,}86$