Question

Решите систему пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$\left\{\begin{array}{l}5^{\frac{x-y}{2}}+5^{x}\cdot 5^{-y}=30\\5^{x+1}+5=30\cdot 5^{y}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}5^{\frac{x}{2}}\cdot 5^{-\frac{y}{2}}+5^{x}\cdot 5^{-y}=30\\5\cdot 5^{x}+5=30\cdot 5^{y}\end{array}\right$    

Введём обозначения:   $u=5^{\frac{x}{2}} > 0\ \ ,\ \ v=5^{\frac{y}{2}} > 0$  .  

Тогда   $5^{x}=u^2\ ,\ 5^{y}=v^2$   .  Систему перепишем в виде:

$\left\{\begin{array}{l}u\cdot v^{-1}+u^2\cdot v^{-2}=30\\5\cdot u^2+5=30\cdot v^2\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\dfrac{u}{v}+\dfrac{u^2}{v^2}=30\\5\cdot u^2+5=30\cdot v^2\end{array}\right$      

Решим первое уравнение системы .

$\dfrac{u}{v}+\dfrac{u^2}{v^2}=30\ \ ,\ \ \Big(\dfrac{u}{v}\Big)^2+\dfrac{u}{v}-30=0$  ,  причём   $\dfrac{u}{v} > 0$   .

Получили квадратное уравнение относительно дроби  u/v . По теореме Виета легко подобрать корни этого уравнения:

$\dfrac{u}{v}=5 > 0\ \ ,\ \ \dfrac{u}{v}=-6 < 0$  

Отрицательный корень не подходит.

$\dfrac{u}{v}=5\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{5^{\frac{x}{2}}}{5^{\frac{y}{2}}}=5\ \ ,\ \ \ 5^{\frac{x}{2}-\frac{y}{2}}=5^1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{2}=1\ \ ,\ \ \underline{x-y=2}$      

Решим второе уравнение системы, учитывая, что  $\dfrac{u}{v}=5\ \ \Rightarrow \ \ u=5v$  

$5\cdot u^2+5=30\cdot v^2\ \ \Rightarrow \ \ \ u^2+1=6v^2\ \ ,\ \ (5v^2)+1=6v^2\ \ ,\\\\25v^2-6v^2=-1\ \ ,\ \ \ 19v^2=-1\ \ ,\ \ \ v^2=-\dfrac{1}{19} < 0\ \ \ (!!!)$    

Квадрат любого выражения не может быть отрицательным . Поэтому это уравнение не имеет решений, а значит не имеет решений и система уравнений .