Question

Даю 30 баллов. Решить уравнение:
$(x^2-2x)^2-(x-1)^2=55$

Answer 1

Ответ: x₁ = 4  ,  x₂ = -2

Пошаговое объяснение:

$(x^2 -2x )^2 - (x-1)^2=55 \\\\ (x (x-2))^2 - (x-1)^2 = 55$

Сделаем замену

$t = x-1 \\\\ t -1 = x-2 \\\\ t + 1 = x$

$\Big ( ( t -1)(t+1) \Big ) ^2 - t^2 = 55 \\\\ (t ^2-1)^2 -t^2 = 55 \\\\ t^4 - 2t^2 +1 -t^2 -55 =0 \\\\ t^4 -3t^2 -54 =0$

Выходит  биквадратное уравнение

$u = t^2 ~~ , ~~ u^2 = t^4 ~ , ~ u > 0 \\\\ u^2-3u -54 = 0 \\\\ \displaystyle \left \{ {{u_1 +u_2=3} \atop {u_1 u_2 = -54}} \right. \Leftrightarrow u_1 = 9 ~\checkmark ~~ , ~~ u_2 = - 6 ~~ \varnothing$

Тогда

$t^2 = 9 \\\\ t _{1,2} = \pm 3$

Вернемся к старой переменой  $t = x-1$

$\hspace{-1,4em }1. ~~ x- 1 = 3 \\\\ x_1= 4$

$\hspace{-1,4em }2. ~~ x- 1 = -3 \\\\ x_2= -2$