Question

Подскажите откуда всялось выражение при выражении cos и sin в зависимости от tg?
До этого выражались cos и tg исходя из ранее описанных формул, сумма квадратов косинуса и синуса и частное синуса и косинуса.
А потом начали выражать cos и sin, но непонятно откуда взялось 1 / cos^2

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество (по сути, теорема Пифагора, записанная в тригонометрических терминах):

$\sin ^2 \alpha + \cos^2 \alpha=1$

Разделим обе части уравнения на $\cos ^2 \alpha:$

$\dfrac{\sin^2 \alpha + \cos ^2 \alpha}{\cos ^2 \alpha}=\dfrac{1}{\cos ^2 \alpha}\\\dfrac{\sin ^2 \alpha}{\cos ^2 \alpha}+\dfrac{\cos ^2 \alpha}{\cos ^2 \alpha}=\dfrac{1}{\cos ^2 \alpha}\\\left(\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right)^2+1=\dfrac{1}{\cos ^2 \alpha}\\\text{tg}^2 \alpha+1=\dfrac{1}{\cos^2 \alpha}$