Question

Задача с параметром. Кто-нибудь может помочь?

Answer 1

Ответ:

$(a,b)=\{(-2,b):b\geq 4\}\cup\{(-1;b):b\geq 3\},b\in\mathbb{Z}$

Более простая форма записи:

$\displaystyle \left \{ {{a=-2} \atop {b\geq 4}} \right. ,\left \{ {{a=-1} \atop {b\geq 3}} \right. ,b\in\mathbb{Z}$

Пошаговое объяснение:

Разберёмся с ограничениями:

• b ≠ 0, так как стоит в знаменателе;
• b² - x² ≥ 0 — ограничение корня, выполняется при -|b| ≤ x ≤ |b|;
• $-1\leq \dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{b}\leq 1$      — ограничение арксинуса, выполняется при любых x из области определения, так как $x^2\geq 0\Leftrightarrow -x^2\leq 0\Leftrightarrow b^2-x^2\leq b^2$, а значит,      $\left|\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{b}\right|\leq \left|\dfrac{\sqrt{b^2}}{b}\right|=1$.

Рассмотрим случай, когда b < 0. В таком случае b = -|b|.

Рассмотрим выражение с модулем:

$\left|\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{b}+b\cdot 2^{\sin{\pi bx}}\right|=\left|\arcsin{\dfrac{\sqrt{(-|b|)^2-x^2}}{-|b|}-|b|\cdot 2^{\sin{(-\pi |b|x)}}\right|=\\=\left|-\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{|b|}-|b|\cdot 2^{\sin{(-\pi |b|x)}}\right|=\left|\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{|b|}+|b|\cdot 2^{\sin{(-\pi |b|x)}}\right|$

Аргумент арксинуса неотрицателен (в числителе — корень, не меньший нуля, в знаменателе — модуль, больший нуля), значит, сам арксинус тоже неотрицателен. |b| и 2 в степени — положительные числа, значит, их произведение положительно. Сумма неотрицательного и положительного чисел даёт положительное число. Значит, такой модуль раскрывается с плюсом. Тогда при b < 0 уравнение имеет вид

$-\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{|b|}}+|b|\cdot 2^{\sin{(-\pi |b|x)}}-\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{|b|}}-|b|\cdot 2^{\sin{(-\pi |b|x)}}=-2a|b|\\-2\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{|b|}}=-2a|b|\\\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{|b|}}=a|b|$

При $0\leq a|b|\leq \dfrac{\pi}{2}$:

$\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{|b|}=\sin{a|b|}\\\sqrt{b^2-x^2}=|b|\sin{a|b|}\\b^2-x^2=b^2\sin^2{a|b|}\\x^2=b^2-b^2\sin^2{a|b|}$

Пара чисел (a, b) задаёт в правой части некоторое число, причём неотрицательное. Значит, при b < 0 количество корней не более двух. Такие значения параметра нам не подходят.

Рассмотрим случай b > 0. Тогда аналогично предыдущим рассуждениям можно записать b = |b|, модуль в левой части будет раскрываться с плюсом. Уравнение имеет вид:

$\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{b}}-b\cdot 2^{\sin{\pi bx}}-\arcsin{\dfrac{\sqrt{b^2-x^2}}{b}}-b\cdot 2^{\sin{\pi bx}}=2ab\\-2b\cdot 2^{\sin{\pi bx}}=2ab\\2^{\sin{\pi bx}}=-a\\\sin{\pi bx}=\log_2{(-a)}$

Область значений синуса — от -1 до 1. Тогда и правая часть должна лежать в этом промежутке:

$-1\leq \log_2{(-a)}\leq 1\\\dfrac{1}{2}\leq -a\leq 2\\-2\leq a\leq -\dfrac{1}{2}$

Целые a из промежутка: -2 и -1.

Пусть a = -2:

$\sin{\pi bx}=1\\\pi bx=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,k\in\mathbb{Z}\\bx=\dfrac{1}{2}+2k$

Ограничение на корни: -|b| ≤ x ≤ |b|, а учитывая b > 0, -b ≤ x ≤ b. Тогда:

$-b^2\leq \dfrac{1}{2}+2k\leq b^2$. Количество корней равно количеству целых k, удовлетворяющих данному двойному неравенству. Очевидно, чем больше b, тем больше подходящих k. Сделаем перебор снизу:

• b = 0: решений нет;
• b = 1: k = 0 — 1 решение;
• b = 2: k = -2; -1; 0; 1 — 4 решения;
• b = 3: k = -4; -3; ... 3; 4 — 9 решений;
• b = 4: k = -8; -7; ... 6; 7 — 16 решений.

При a = -2 подходят целые b ≥ 4.

Пусть a = -1:

$\sin{\pi bx}=0\\\pi bx=\pi k,k\in\mathbb{Z}\\bx=k\\-b^2\leq k\leq b^2$

Поскольку k лежит в симметричном промежутке, то, если в нём лежит некоторое k₀, в нём будет лежать и -k₀. Чтобы в этом промежутке было не менее 10 решений, необходимо, чтобы k = 5 лежало в нём. Тогда b² ≥ 5 ⇒ b ≥ 3.

При a = -1 подходят целые b ≥ 3.