Question

Докажите ,что для любого натурального числа n справедливо неравенство :1/3^2+ 1/5^2 + 1/7^2 + .... 1/(2n + 1)^2 < 1/4

Answer 1

Объяснение:

для натурального n (n>0):

справедливо $n^2>n^2-1=(n+1)(n-1)$

$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{(n-1)(n+1)}$, откуда

$\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{(2n+1)^2}<$

$\frac{1}{(3-1)*(3+1)}+\frac{1}{(5-1)*(5+1)}+\frac{1}{(7-1)(7+1)}+...+\frac{1}{(2n+1-1)(2n+1+1)}<$

$\frac{1}{2*4}+\frac{1}{4*6}+\frac{1}{6*8}+...+\frac{1}{(2n)(2n+2)}=$

$\frac{1}{4}*(\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+...+\frac{1}{n(n+1)})=$

$\frac{1}{4}*(\frac{2-1}{1*2}+\frac{3-2}{2*3}+\frac{4-3}{3*4}+...+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)})=$

$\frac{1}{4}*(\frac{2}{1*2}-\frac{1}{1*2}+\frac{3}{2*3}-\frac{2}{2*3}+\frac{4}{3*4}-\frac{3}{3*4}+...+\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)})=$

$\frac{1}{4}*(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=$

$\frac{1}{4}*(1-\frac{1}{n+1})<\frac{1}{4}*1=\frac{1}{4}$

что и требовалось доказать