Question

3.144. Найдите все значения переменной, при которых двучлен: a) -х² + 16 принимает неположительные значения; б) -5х² - 8 принимает отрицательные значения.​

Answer 1

Ответ:

а) $(-oo;-4)U(4;+oo)$
б) $(-oo;+oo)$

Объяснение:

а) $-x^2+16\leq 0$
$16-x^2\leq 0$
$(4-x)(4+x)\leq 0$
Неравенство выполняется, если множители противоположны по знаку:
$4-x\leq 0$ и $4+x\geq 0$
$x\geq 4$ и $x\geq -4$ (первое неравенство содержит второе)
или
$4-x\geq 0$ и $4+x\leq 0$

$x\leq 4$ и $x\leq -4$  (второе неравенство содержит первое)
Получили:
$x\leq -4$
$x\geq 4$
Неравенство выполняется при:
$x=(-oo;-4)U(4;+oo)$
б) $-5x^2-8 < 0$
$5x^2+8 > 0$
Неравенство верно при любом значении переменной, так как $x^{2} > 0$,  а значит и первоначальное неравенство выполняется при всех значениях $x$
$x=(-oo;+oo)$

Answer 2

Решение.

Неположительные числа  - это отрицательные и  ноль .  

$\bf a)\ \ -x^2+16\leq 0\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2-16\geq 0\ \ ,\\\\(x-4)(x+4)\geq 0$

Решаем методом интервалов.

Нули функции:  $\bf x_1=-4\ ,\ x_2=4$  

Знаки:  $\bf +++[-4\ ]---[\ 4\ ]+++$  

Ответ:  $\boldsymbol{x\in (-\infty ;-4\ ]\cup [\ 4\ ;+\infty \, )}$  .

$\bf b)\ \ -5x^2-8 < 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ 5x^2+8 > 0\ \ ,$

Так как   $\bf 5x^2\geq 0$  при любых значениях переменной,

то  $\bf 5x^2+8\geq 8 > 0$   при любых значениях переменной .

Ответ:  $\boldsymbol{x\in (-\infty ;+\infty \, )}$   .