Question

Докажите неравенство
$\displaystyle\bf\log_{30}5\cdot\log_{30}6+\log_{30}2\cdot\log_{30}3\ \textless \ \frac{1}{3}$

Answer 1

По неравенству о средних имеем

$\log_{30}2\cdot \log_{30}3\leq \left(\dfrac{\log_{30}2+\log_{30}3}{2}\right)^2=\dfrac{\log_{30}^26}{4}$.
Тогда

$\log_{30}5\cdot \log_{30}6+\log_{30}2\cdot \log_{30}3\leq \log_{30}5\cdot \log_{30}6+\dfrac{\log_{30}^26}{4}=\\ =\left(\dfrac{\log_{30}6}{2}+\log_{30}5\right)^2-\log_{30}^25=\dfrac{1}{4}\cdot \left(\log_{30}6+\log_{30}25\right)^2-\log_{30}^25=\\ =\dfrac{1}{4}\cdot \left(1+\log_{30}5\right)^2-\log_{30}^25\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$
Рассмотрим функцию $f(x)=\dfrac{1}{4}\cdot (1+x)^2-x^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{4}x^2$.

Т.к. коэффициент при $x^2$ отрицателен, то ветви параболы направлены вниз, и максимум достигается лишь в вершине.
Абсцисса вершины $x_0=\dfrac{-1/2}{2\cdot (-3/4)}=\dfrac{1}{3}$, а сам максимум $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{4}\cdot\left (1+\dfrac{1}{3}\right)^2-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3}$.

Т.к., очевидно, $\log_{30}5\neq \dfrac{1}{3}$ ($5^3=125\neq 30$), то и $f(\log_{30}5) < \dfrac{1}{3}$ - а $f(\log_{30}5)$ есть не что иное, как $(1)$.

Ч.т.д.