Question

решите уравнение
$x^5-5x^3+5x=\dfrac{13}{6}$

Answer 1

Ответ:

$\sqrt[5]{\dfrac{2}{3}}+\sqrt[5]{\dfrac{3}{2}}$

Объяснение:

Исследуем функцию $f(x)=x^5-5x^3+5x$. Её производная $f'(x)=5x^4-15x^2+5=5(x^4-3x^2+1)$. Нули производной: $x=\pm\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}},\pm\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}$. Найдём значения функции в этих точках:

$f\left(\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right)=f\left(-\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right)=2\\f\left(-\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right)=f\left(\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right)=-2$

Далее, исследовав знак производной, получаем, что функция сначала возрастает до 2, затем убывает до -2, потом возрастает до 2, убывает до -2 и снова возрастает. Поскольку $\dfrac{13}{6} > 2$, это значение функция примет только один раз, значит, и корень уравнения тоже будет один.

Наибольшая точка экстремума — $x=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} < 2$. При $x > \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ функция возрастает, причём $f(2)=2 < \dfrac{13}{6}$. Значит, уравнение имеет корень $x_0 > 2$. Тогда можно искать корень в виде $x=a+\dfrac{1}{a}$:

$\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^5-5\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^3+5\left(a+\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{13}{6}$

Раскрыв скобки в левой части, получаем

$a^5+\dfrac{1}{a^5}=\dfrac{13}{6}|\cdot 6a^5\neq 0\\6a^{10}-13a^5+6=0\\a^5=b\\6b^2-13b+6=0\\b=\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{2}\\a=\sqrt[5]{\dfrac{2}{3}},\sqrt[5]{\dfrac{3}{2}}\\x=\sqrt[5]{\dfrac{2}{3}}+\sqrt[5]{\dfrac{3}{2}}$