Question

Помогите решить уравнение, применив подстановку​​

Answer 1

$\dfrac{1}{x^2+2x-3}+\dfrac{18}{x^2+2x+2}=\dfrac{18}{x^2+2x+1}$

Подстановка $x^2+2x+1=t:$

ОДЗ: t != 4, t != -1, t!=0

$\dfrac{1}{t-4}+\dfrac{18}{t+1}=\dfrac{18}{t}\\\dfrac{t+1+18(t-4)}{(t-4)(t+1)}=\dfrac{18}{t}\\t(t+1+18t-72)=18(t-4)(t+1)\\t(19t-71)=18(t^2-4t+t-4)\\19t^2-71t=18(t^2-3t-4)\\19t^2-71t=18t^2-54t-72\\t^2-17t+72=0\\D=17^2-4 \cdot 72=289-288=1\\t_1=\dfrac{17+1}{2}=9; \qquad t_2=\dfrac{16}{2}=8$

Первый случай:

$x^2+2x+1=9\\(x+1)^2=3^2\\x_1+1=3\\x_1=2\\x_2+1=-3\\x_2=-4$

Второй случай:

$x^2+2x+1=8\\(x+1)^2=(\sqrt 8)^2\\(x+1)^2=(2\sqrt 2)^2\\x_3+1=2\sqrt 2\\x_3=-1+2 \sqrt 2\\x_4+1=-2\sqrt 2\\x_4=-1-2\sqrt 2$

Ответ: $x_1=2; \qquad x_2=-4; \qquad x_{3,4}=-1 \pm 2\sqrt 2$

==========

$(y^2+2y+4)^2-7(y^2+2y+4)+12=0$

Подстановка $y^2+2y+4=t:$

$t^2-7t+12=0\\D=7^2-4 \cdot 12=49-48=1\\\\t_1=\dfrac{7+1}{2}=4; \qquad t_2=\dfrac{7-1}{2}=3.$

Первый случай:

$y^2+2y+4=4\\y^2+2y=0\\y(y+2)=0\\y_1=0\\y_2=-2$

Второй случай:

$y^2+2y+4=3\\y^2+2y+1=0\\(y+1)^2=0\\y_3=-1$

Ответ: $y_1=0; \quad y_2=-2; \quad y_3=-1.$

=====

$(x^2+x+1)^2-3x^2-3x-1=0\\(x^2+x+1)^2-3x^2-3x-3+2=0\\(x^2+x+1)^2-3(x^2+x+1)+2=0$

Подстановка $x^2+x+1=t:$

$t^2-3t+2=0$

Корни легко подбираются по теореме Виета:

$t_1=1; \quad t_2=2.$

Первый случай:

$x^2+x+1=1\\x^2+x=0\\x(x+1)=0\\x_1=0\\x_2=-1$

Второй случай:

$x^2+x+1=2\\x^2+x-1=0\\D=1+4=5\\x_{3,4}=\dfrac{-1 \pm \sqrt 5}{2}.$

Ответ: $x_1=0; \quad x_2=-1; \quad x_{3,4}=\dfrac{-1 \pm \sqrt 5}{2}$

=========

$x^2+\dfrac{1}{x^2}+2 \left(x+\dfrac 1x\right)=\dfrac{142}{9}$

Это так называемое возвратное уравнение. Пусть выражение в скобках равно $t$. Если возвести его в квадрат, получим:

$t^2=x^2+2x \cdot \dfrac 1x+\dfrac{1}{x^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2$

Откуда $x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2:$

$t^2-2+2t=\dfrac{142}{9}\\9t^2+18t-18=142\\9t^2+18t-160=0\\D=18^2+4 \cdot 9 \cdot 160=6084\\\sqrt{D}=78\\t_1=\dfrac{-18+78}{18}=\dfrac{60}{18}=\dfrac{10}{3}\\t_2=\dfrac{-18-78}{18}=-\dfrac{96}{18}=-\dfrac{48}{9}=-\dfrac{16}{3}$

Первый случай:

$x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{10}{3}\\x^2+1=\dfrac{10}{3}x\\3x^2+3=10x\\3x^2-10x+3=0\\D=100-4 \cdot 3 \cdot 3=100-36=64\\\sqrt{D}=8\\x_1=\dfrac{10+8}{6}=\dfrac{18}{6}=3\\\\x_2=\dfrac{10-8}{6}=\dfrac 26=\dfrac 13 .$

Второй случай:

$x+\dfrac 1x=-\dfrac{16}{3}\\x^2+1=-\dfrac{16}{3}x\\3x^2+3=-16x\\3x^2+16x+3=0\\D=256-4 \cdot 3 \cdot 3=256-36=220\\\sqrt{D}=\sqrt{55 \cdot 4}=2\sqrt{55}\\x_{3,4}=\dfrac{-16\pm 2\sqrt {55}}{6}=\dfrac{-8 \pm \sqrt{55}}{3}.$

Ответ: $x_{1,2}=3^{\pm1} \qquad x_{3,4}=\dfrac{-8 \pm \sqrt{55}}{3}.$