Question

Длины сторон прямоугольного треугольника образованы тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Чему равен больший перпендикуляр, если радиус описанного треугольника равен 12,5 см?

Answer 1

Ответ:

Больший катет треугольника равен 20 см

Объяснение:

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника $x - a,\,\,x,\,\,x + a.\,\,$

Тогда по теореме Пифагора

${(x - a)^2} + {x^2} = {(x + a)^2};\\\\{x^2} - 2ax + {a^2} + {x^2} = {x^2} + 2ax + {a^2};\\\\{x^2} - 4ax = 0;\\\\x(x - 4a) = 0;\\\\{x_1} = 0;\,\,{x_2} = 4a.$

Так как стороны не могут иметь нулевое значение, первый корень посторонний.

Таким образом, стороны данного треугольника $3a,\,\,4a,\,\,5a.$

Радиус описанной окружности в прямоугольном треугольнике равен половине гипотенузы, следовательно

$R = \displaystyle\frac{c}{2} = \displaystyle\frac{{5a}}{2} = 12{,}5;\\\\a = 5.$

Больший катет треугольника равен $4a = 4 \cdot 5 = 20.$