Question

Знайдіть площу фігури, обмежену графіками функцій y=|x-1|-|x-2) та y=|x-3|.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Построим в одной системе координат графики обеих функций, выполнив предварительные преобразования.

Точки $x = 1$ и $x = 2$ разбивают числовую прямую на три части, в каждой из которых каждый из модулей имеет постоянный знак.

1) $x < 1$

$y = 1 - x - (2 - x) = 1 - x - 2 + x = - 1;$

2) $1 \le x \le 2$

$y = x - 1 - (2 - x) = x - 1 - 2 + x = 2x - 3;$

3) $x > 2$

$y = x - 1 - (x - 2) = 1.$

Таким образом,

$y = \left| {x - 1} \right| - \left| {x - 2} \right| = \left\{ \begin{array}{l} - 1,\,\,x < 1,\\2x - 3,\,\,1 \le x \le 2,\\1,\,\,x > 2.\end{array} \right.$

Модуль второго графика раскрываем по определению модуля:

$y = \left| {x - 3} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x - 3,\,\,x \ge 3,\\3 - x,\,\,x < 3.\end{array} \right.$

Пересечением графиков является равнобедренный прямоугольный треугольник (см. рис.). По клеточкам удобно увидеть, что его гипотенуза равна 2, а высота, проведенная к ней — 1.

Тогда площадь этого треугольника

$S = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1.$