Найдите наименьшее нечётное натуральное число, имеющее ровно 12 различных натуральных делителей.
Ответы
Ответ:
315
Пошаговое объяснение:
Рассмотрим разложение искомого числа (назовём его n) на простые множители:
Число делится на все числа такого вида, у которых степень множителя не превосходит (то есть, например, число 12 = 2²·3 имеет 6 делителей: 2⁰·3⁰, 2¹·3⁰, 2²·3⁰, 2⁰·3¹, 2¹·3¹, 2²·3¹). Для каждого множителя можно взять
степеней (от 0 до
). Значит, число делителей можно записать в виде произведения
Поскольку 12 = 2·2·3, то число простых множителей в искомом числе может быть не больше трёх, то есть . Таким образом, число n имеет вид n = x²yz, где x, y, z — простые числа, не равные двум. Среди чисел такого вида наименьшее, очевидно, n = 3²·5·7 = 315.
Поскольку число 12 можно также представить в виде 4·3, 6·2, 12·1, то числа вида x³y², x⁵y, x¹¹ так же имеют 12 делителей. Но для каждого вида наименьшими будут соответственно 675, 1215, 3¹¹, что больше 315.
Таким образом, наименьшее нечётное натуральное число, имеющее ровно 12 различных натуральных делителей, равно 315.