Question

Найдите наименьшее нечётное натуральное число, имеющее ровно 12 различных натуральных делителей.

Answer 1

Ответ:

315

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим разложение искомого числа (назовём его n) на простые множители: $n=3^{\alpha_1}\cdot 5^{\alpha_2}\cdot 7^{\alpha_3}\ldots$

Число делится на все числа такого вида, у которых степень множителя не превосходит $\alpha_i$ (то есть, например, число 12 = 2²·3 имеет 6 делителей: 2⁰·3⁰, 2¹·3⁰, 2²·3⁰, 2⁰·3¹, 2¹·3¹, 2²·3¹). Для каждого множителя можно взять $\alpha_i+1$ степеней (от 0 до $\alpha_i$). Значит, число делителей можно записать в виде произведения $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)(\alpha_3+1)\ldots$

Поскольку 12 = 2·2·3, то число простых множителей в искомом числе может быть не больше трёх, то есть $\alpha_1+1=2\Leftrightarrow\alpha_1=1;\alpha_2+1=2\Leftrightarrow \alpha_2=1;\alpha_3+1=3\Leftrightarrow a_3=2$. Таким образом, число n имеет вид n = x²yz, где x, y, z — простые числа, не равные двум. Среди чисел такого вида наименьшее, очевидно, n = 3²·5·7 = 315.

Поскольку число 12 можно также представить в виде 4·3, 6·2, 12·1, то числа вида x³y², x⁵y, x¹¹ так же имеют 12 делителей. Но для каждого вида наименьшими будут соответственно 675, 1215, 3¹¹, что больше 315.

Таким образом, наименьшее нечётное натуральное число, имеющее ровно 12 различных натуральных делителей, равно 315.