Question

При якій силі струму в провідному кільці довжиною 62,8 см розташованому у вакуумі, в його центрі виникне магнітне поле з індукцією 3,14 мТл?

Answer 1

Ответ:

Сила тока приблизительно 498,4 A

Объяснение:

Дано:

$l =$ 0,628 м

$B =$ 0,00314 Тл

$\mu =$ 1

$\mu_{0} =$ 1,26 · 10⁻⁶ Гн · м⁻¹

Найти:

$I \ - \ ?$

------------------------------------

Решение:

Длина кольца:

$l = 2 \pi R \Longrightarrow R = \dfrac{l}{2 \pi}$

По закону Био - Савара - Лапласа в векторной форме:

$\boxed{d\overrightarrow{B} = \dfrac{\mu \mu_{0} I[d\vec{l},\overrightarrow{r}]}{4 \pi r^{3}} }$

Бесконечно малые элементы кольца перпендикуляры

радиус-вектору (поэтому синус угла будет равен 1) и расстояние от каждого из них до центра одинаковое и равно R.

В скалярной форме закон Био - Савара - Лапласа для кольца:

$dB = \dfrac{\mu \mu_{0} I dl}{4\pi R^{2}} = \dfrac{\mu \mu_{0} I dl}{4\pi \bigg( \dfrac{l}{2 \pi} \bigg)^{2}} = \dfrac{\mu \mu_{0} I dl}{4\pi \cdot \dfrac{l^{2}}{4 \pi^{2}} } = \dfrac{\pi \mu \mu_{0} I dl}{l^{2}}$

Проинтегрируем вдоль длины кольца (принцип суперпозиции):

$\displaystyle B = \int\limits^{l}_{0} dB = \int\limits^{l}_{0} \dfrac{\pi \mu \mu_{0} I }{l^{2}} \, dl =\dfrac{\pi \mu \mu_{0} I }{l^{2}}\int\limits^{l}_{0}dl = \dfrac{\pi \mu \mu_{0} I }{l^{2}} \bigg(l - 0 \bigg) = \dfrac{\mu \mu_{0} Il }{l^{2}} =\dfrac{\pi \mu \mu_{0} I }{l}$

Сила тока:

$B = \dfrac{\pi \mu \mu_{0} I }{l} \Longrightarrow \boldsymbol{ \boxed{ I = \frac{Bl}{\pi \mu \mu_{0}} }}$

Расчеты:

$\boldsymbol I =$ (0,00314 Тл · 0,628 м) / (3,14 · 1 · 1,26 · 10⁻⁶ Гн · м⁻¹) $\approx$ 498,4 A

Ответ: $I \approx$ 498,4 A.