Question

Найдите значение выражения x^-3 + x^-2 + x^-1 + x^0 + x^1 + x^2 + x^3, если x + x^-1 = 5.

Answer 1

Ответ:

139

Пошаговое объяснение:

Задача: пусть $x+\dfrac{1}{x}=5;$ требуется найти

                             $\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}+1+x+x^2+x^3.$

Решение.

 $x+\dfrac{1}{x}=5\Rightarrow \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=25;\ x^2+2x\cdot \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=25;\ x^2+\dfrac{1}{x^2}=23;$

          $\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\cdot \left(x+\dfrac{1}{x}\right)=23\cdot 5;\ x^3+x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^3}=115\Rightarrow$

              $\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}+1+x+x^2+x^3=115+23+1=139.$