Question

Доведіть, що множина всіх рівносторонніх трикутників, довжини сторін яких виражаються натуральними
числами, зліченна.

Answer 1

Пронумеруем наши треугольники, например, символами $\Delta_1, \Delta _2, \ldots, \Delta _n, \Delta _{n+1}, \ldots$, где индекс обозначает длину стороны. Мы можем установить взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел:

$\Delta_1 \longleftrightarrow 1\\\Delta _2 \longleftrightarrow 2\\\hdots \\ \Delta _n \longleftrightarrow n\\ \Delta_{n+1} \longleftrightarrow n+1\\\hdots$

Множество натуральных чисел по определению является счётным, а значит, множество $\Delta_i$ тоже является счётным.