Question

Доведіть, що функція f(x) = 1/(x-1) є спадною на кожному з проміжків (-∞;1) і (1;+∞), але не на їх об’еднанні.

Answer 1

Найдём производную:

$f(x)=\dfrac{1}{x-1}\\f'(x)=\dfrac{0-(x-1)'}{(x-1)^2}=\dfrac{0-1}{(x-1)^2}=-\dfrac{1}{(x-1)^2}$

Знаменатель дроби стоит под квадратом, а значит, он неотрицателен, следовательно, дробь всегда отрицательна, кроме точки x=1, где производная не определена. Точка x=1 является точкой разрыва 2 рода.