Question

Избавьтесь от иррациональности $\frac{1}{a-\sqrt{ab}+b }$

Answer 1

Ответ:

Избавиться от иррациональности . Сначала применим формулу суммы кубов  $\bf x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ , где  $x=\sqrt{a}\ ,\ y=\sqrt{b}$  , а

затем формулу  разности квадратов  $\bf (x+y)(x-y)=x^2-y^2$  , где  

$x=\sqrt{a^3}\ ,\ y=\sqrt{b^3}$.

$\displaystyle \frac{1}{a-\sqrt{ab}+b}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a})^3+(\sqrt{b})^3}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}=\\\\\\=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a^3}-\sqrt{b^3})}{(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3})(\sqrt{a^3}-\sqrt{b^3})}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a^3}-\sqrt{b^3})}{a^3-b^3}$