Question

1. В урну, содержащую 5 шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если все возможные предположения о первоначальном цветовом составе шаров равновозможных.

2. Цифры 1, 2. 3 ... 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке:
a) четное; б) двузначное.

Answer 1

1.

По условию, все возможные предположения о первоначальном цветовом составе шаров равновозможны.

Обозначим:

$P(A_i)$ - вероятность того, что урна изначально содержала $i$ белых шаров

$P(B|A_i)$ - вероятность достать белый шар из урны после добавления в нее 1 белого шара, при условии, что она изначально содержала $i$ белых шаров

$P(B)$ - вероятность достать белый шар из урны после добавления в нее 1 белого шара

Изначально в урне могло быть 0, 1, 2, 3, 4 или 5 белых шаров. Каждая из этих шести ситуаций осуществляется с вероятностью $\dfrac{1}{6}$, а между собой все эти ситуации несовместны. Поэтому:

$P(A_0)=P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=P(A_4)=P(A_5)=\dfrac{1}{6}$

Если изначально в урне не было белых шаров, то после добавления туда 1 белого шара, белых шаров станет 1. Всего шаров в урне окажется 6. Тогда, вероятность извлечь белый шар в этой ситуации равна:

$P(B|A_0)=\dfrac{1}{6}$

Если изначально в урне был 1 белый шар, то после добавления туда еще 1 белого шара, белых шаров станет 2. Вероятность после этого извлечь белый шар в этой ситуации равна:

$P(B|A_1)=\dfrac{2}{6}$

Аналогично рассуждая, получим:

$P(B|A_2)=\dfrac{3}{6};\ P(B|A_3)=\dfrac{4}{6};\ P(B|A_4)=\dfrac{5}{6};\ P(B|A_5)=\dfrac{6}{6}$

По формуле полной вероятности:

$P(B)=\sum\limits_{i}P(A_i)\cdot P(B|A_i)$

$P(B)=\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{3}{6}+\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{6}{6}=$

$=\dfrac{1}{36} \cdot(1+2+3+4+5+6)=\dfrac{1}{36} \cdot 21=\dfrac{21}{36} =\dfrac{7}{12}$

Ответ: 7/12

2.а

Из девяти имеющихся цифр 1, 2, 3, ..., 9 четными являются четыре: 2, 4, 6, 8.

Вероятность определим как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A)=\dfrac{4}{9}$

2.б

Поскольку цифры являются однозначными числами, то никакая цифра не может быть двузначным числом. Следовательно, достать двузначное число невозможно. Вероятность невозможного события равна 0:

$P(B)=0$

Ответ: а) 4/9; б) 0