Question

Вычислить, пользуясь формулой Муавра (тригонометрия)

Answer 1

Ответ:

z=a+ib

a=1 b=-1

z=1-1i

r=√a²+b²=√1²+(-1)²=√2

sina=b/r=-1/√2=-√2/2=7π/4

cosa=a/r=1/√2=√2/2=7π/4

z^n=r^n(cosa*n+sina*5*i)

z⁵=(√2)⁵(cos5*7π/4+sin5*7π/4*i)

z⁵=4√2(cos35π/4+sin35π/4*i)

вышмат ??)))

Answer 2

Ответ:  z⁵ = ( 1 - i )⁵ = -4  + 4i

Пошаговое объяснение:

Найдем тригонометрическую форму  для числа $1 - i$

$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} =\sqrt{2}$

$\displaystyle 1 - i =\sqrt{2} \bigg(\frac{\sqrt{2} }{2} - \frac{\sqrt{2} }{2 } i \bigg ) =\sqrt{2} \Big ( \cos (-\tfrac{\pi }{4} ) + \sin (-\tfrac{\pi }{4} )\cdot i \Big)$

Применим формулу Муавра :

$z^n = \big ( r(\cos \varphi + i\sin \varphi ) \big )^n = r^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi )~ , ~ n \in \mathbb N$

$\displaystyle (1 - i)^5= \bigg (\sqrt{2} \Big ( \cos (-\tfrac{\pi }{4} ) + \sin (-\tfrac{\pi }{4} )\cdot i \Big) \bigg )^5 =4\sqrt{2} \Big ( \cos (-\tfrac{5\pi }{4} )+ \sin (-\tfrac{5\pi }{4} ) i\Big ) = \\\\ =4\sqrt{2} \Big ( - \cos \tfrac{\pi }{4} +\sin \tfrac{\pi }{4} i\Big ) = 4\sqrt{2} \bigg(-\frac{\sqrt{2} }{2} + \frac{\sqrt{2} }{2} i \bigg) = -4+ 4i$