Question

Алексею с братом в наследство от отца достался прямоугольный участок площадью
4800 м?. Никто из братьев не хотел отказываться от наследства, а потому они решили поделить участок пополам. Но необычным образом: по диагонали. В результате Алексею достался участок вдвое меньшей площадью (2400 м?) в форме прямоугольного треугольника.
Выяснилось, что периметр образовавшегося участка (периметр треугольника) равен 240 м. А чему в этом случае равны его стороны?
В ответ запишите длины сторон в метрах в порядке возрастания через пробел.

Answer 1

Ответ:

Стороны треугольника равны 60 м и 80 м.

Пошаговое объяснение:

Алексею с братом в наследство от отца достался прямоугольный участок площадью 4800 м². Никто из братьев не хотел отказываться от наследства, а потому они решили поделить участок пополам. Но необычным образом: по диагонали. В результате Алексею достался участок вдвое меньшей площадью (2400 м²) в форме прямоугольного треугольника.

Выяснилось, что периметр образовавшегося участка (периметр треугольника) равен 240 м. А чему в этом случае равны его стороны?

• Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон.

• Периметр треугольника равен сумме длин всех сторон.

Пусть стороны прямоугольника равна а и b, а диагональ равна с.

Тогда площадь прямоугольника равна

S = ab = 4800 м²

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

a² + b² = c²

Дополним до полного квадрата:

a² + 2ab + b² - 2ab = c²

(a + b)² - 2ab = c²

ab = 4800 ⇒

(a + b)² - 9600 = c²   (1)

Периметр прямоугольника равен:

Р = a + b + c = 240 м

или

(a + b) + c = 240     (2)

Пусть (а + b) = x

Тогда из (1) и (2) получим систему:

$\displaystyle \bf \left \{ {{x^2-9600=c^2} \atop {x+c=240}} \right. \;\iff\;\left \{ {{(240-c)^2-9600=c^2} \atop {x=240-c}} \right. \\\\57600-480c+c^2-9600=c^2\\\\480c=48000\\\\c=100\;\Rightarrow \;x=240-100=140$

Получили a + b = 140, a ab = 4800.

Решим эту систему:

$\displaystyle \bf \left \{ {{a+b=140} \atop {ab=4800}} \right.\;\iff\;\left \{ {{a=140-b} \atop {(140-b)\cdot{b=4800}}} \right. \\\\140b-b^2=4800\\\\b^2-140b+4800=0\\\\D=19600-19200=400\;\Rightarrow \;\sqrt{D}=20\\ \\b_1=\frac{140+20}{2}=80;\;\;\;\;\;b_2=\frac{140-20}{2}=60$

Тогда

$\displaystyle \bf a_1=140-80=60;\;\;\;\;\;a_2=140-60=80$

Стороны треугольника равны 60 м и 80 м.

#SPJ1