Question

Здравствуйте! Попрошу решить задачу с номером 1

Answer 1

Пошаговое объяснение:

База индукции. При n=1 равенство справедливо

$1*2=1^2*(1+1)$

Шаг индукции. Пусть равенство справедливо при n=k, т.е.

верно равенство

$1*2+2*5+....+k(3k-1)=k^2(k+1)$

докажем, что тогда оно справедливо при n=k+1, т.е. что тогда верное равенство

$1*2+2*5+....+k(3k-1)+(k+1)(3(k+1)-1)=(k+1)^2((k+1)+1)$

$1*2+2*5+....+k(3k-1)+(k+1)(3k+2)=(k+1)^2(k+2)$

Рассмотрим сумму $1*2+2*5+....+k(3k-1)+(k+1)(3k+2)$

используя гипотезу индукции, перепишем в виде

$1*2+2*5+....+k(3k-1)+(k+1)(3k+2)$

$=k^2(k+1)+(k+1)(3k+2)=$

$(k+1)(k^2+(3k+2))=(k+1)(k^2+3k+2)=(k+1)(k^2+k+2k+2)=$

$=(k+1)((k^2+k)+(2k+2))=(k+1)((k*k+k*1)+(2*k+2*1))=$

$(k+1)(k(k+1)+2(k+1))=(k+1)(k+2)(k+1)=(k+1)^2(k+2)$

путем преобразований пришли к тому что и требовалось доказать.

Согласно методу математической индукции утверждение верно. Доказано