Question

Две стороны треугольника равны 4 см и 8 см, а угол между ми 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь

Answer 1

Відповідь:  4√3 см ; 8√3 см²                       АВ = 4 см, АС = 8 см,              ∠ВАС = 60°

По теореме косинусов:

ВС² = АВ² + АС² - 2•АВ•АС•cos∠BAC

BC² = 4² + 8² - 2•4•8•cos60° = 16 + 64 - 2•4•8•(1/2) = 80 - 32 = 48  ⇒  BC = 4√3 см

Площадь ΔАВС:  S = (1/2)•AB•AC•sin60° = (1/2)•4•8•(√3/2) = 8√3 см²

Можно заметить, что ΔАВС - прямоугольный с ∠В = 90°

АВ² + ВС² = АС²  ⇔ 4² + (4√3)² = 8² ⇔ 16 + 48 = 64 ⇔ 64 = 64  -- верно

S abc = (1/2)•AB•BC = (1/2)•4•4√3 = 8√3 см²

Пояснення:

Answer 2

Ответ:

По теореме косинусов:

${c}^{2} = {4}^{2} + {8}^{2} - 2 \times 4 \times 8 \times \cos( {60}^{ \circ} ) \\ {c}^{2} = 16 + 64 - 64 \times \frac{1}{2} \\ {c}^{2} = 80 - 32\\ {c}^{2} = 48 \\ c = 4 \sqrt{3}$

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон и синуса угла между ними.

$\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 4 \times 8 \times \sin( {60}^{ \circ} ) = 16 \times \frac{ \sqrt{3} }{2} = 8 \sqrt{3}$