Question

cos(pi/4+x)-cos(pi/4-x)=1

Answer 1

В левой части уравнения разность косинусов. Формула:

$\displaystyle \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta }{2} \:* \: \sin \frac{ \alpha - \beta }{2}$

Преобразуем:

$\displaystyle \cos\bigg(\frac{\pi}{4}+x\bigg) -\cos\bigg(\frac{\pi}{4}-x\bigg) = 1$

$\displaystyle - 2 \sin \frac{ \displaystyle\frac{\pi}{4} + \not x + \frac{\pi}{4} \not - x }{2} \: * \: \sin \frac{ \displaystyle \not\frac{\pi}{4} + x \not - \frac{\pi}{4} + x}{2} = 1$

$\displaystyle - 2 \sin \frac{ \displaystyle\frac{ \not2\pi}{4} }{ \not2} \: * \: \sin \frac{ \not2x}{ \not2} = 1$

$\displaystyle - 2 \sin \frac{\pi}{4} \: * \: \sin x = 1$

$\displaystyle - 2 \: * \: \frac{ \sqrt{2} }{2} \: * \: \sin x = 1$

$\displaystyle - \sqrt{2} \sin x = 1 \: | : - \sqrt{2}$

$\displaystyle \sin x = - \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Т.к. $\displaystyle x =- \frac{\sqrt{2}}{2}$. То есть значение $\displaystyle |x| \leqslant 1$. Тогда продолжение решении будет выглядеть следующим образом:

$\displaystyle x = ( -1 ) {}^{n} \: * \: arcsin \bigg( - \frac{ \sqrt{2} }{2} \bigg) + \pi n, \: n \in \Z$

$\displaystyle \bf x = ( - 1) {}^{n + 1} \: * \: \frac{\pi}{4} + \pi n, \: n \in \Z$