Question

y’’-4y’+10y=0 y(0)=1 y’(0)=1

Answer 1

Ответ:

ЛОДУ 2 порядка:   $y''-4y'+10y=0$  .

Составляем характеристическое уравнение:   $k^2-4k+10=0$  .

$D/4=2^2-10=-6 < 0\ \ ,\ \ k_{1,2}=2\pm i\, \sqrt{6}$  

Общим решением ЛОДУ 2 порядка будет функция

$y=e^{2x}\cdot (C_1cos\sqrt6x+C_2\, sin\sqrt6x)$

 Решаем задачу Коши, подставляем начальные условия.

$y(0)=1\ ,\ y(0)=e^0\cdot (C_1\cdot 1+C_2\cdot 0)=C_1=1\ ,\ \ C_1=1\\\\y'(x)=2e^{2x}\cdot (C_1\, cos\sqrt6x+C_2\, sin\sqrt6x)+e^{2x}\cdot (-\sqrt6C_1\, sin\sqrt6x+\sqrt6C_2\, cos\sqrt6x)\\\\y'(0)=1\ ,\ y'(0)=2\cdot (C_1\cdot 1+C_2\cdot 0)-\sqrt6C_1\cdot 0+\sqrt6\, C_2\cdot 1)=2C_1+\sqrt6\, C_2=1\\\\2+\sqrt6\, C_2=1\ \ \to \ \ \sqrt6\, C_2=-1\ \ ,\ \ C_2=-\dfrac{1}{\sqrt6}$

Частное решение:   $y=e^{2x}\cdot \Big(cos\sqrt6x-\dfrac{1}{\sqrt6}\, sin\sqrt6x\Big)$   .