Question

Довести нерівність: 2х²-4ху+4у²+6х+9≥0
​

Answer 1

2x²–4xy+4y²+6x+9 ⩾ 0

(х²–4ху+4у²)+(х²+6х+9) ⩾ 0

(х²–4ху+4у²)+(х²+6х+9) ⩾ 0

(x–2y)²+(x+3)² ⩾ 0

(x–2y)² ⩾ 0, при x ∈ R, y ∈  R, т.к. х–2у в квадрате.

(x+3)² ⩾ 0 при х ∈ R, т.к. х+3 в квадрате.

Соответственно, сумма (x–2y)²+(x+3)² тоже ⩾ 0 при любых значениях х и у, изначальное неравенство 2x²–4xy+4y²+6x+9 ⩾ 0 верно, Ч.Т.Д.